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東北大学 1988年理系第1問解説

方針・初手

弦の長さから対応する中心角の余弦を求めるのが基本である。特に

$$ |\vec{u}-\vec{v}|^2=|\vec{u}|^2+|\vec{v}|^2-2\vec{u}\cdot \vec{v} $$

を用いると、（1）はすぐに処理できる。

また、$A$ と $D$ は対蹠点であるから、$A,B,C,D$ は同じ半円上にこの順で並ぶ。したがって、交わる2弦のなす角の性質を使えば（2）が求まる。（3）は座標を置いてベクトルをそのまま計算するのが最も見通しがよい。

解法1

$\alpha=\angle AOB,\ \gamma=\angle DOC$ とおく。

（1）

$|\vec{OA}|=|\vec{OB}|=5$，$|AB|=4$ であるから、

$$ |,\vec{OB}-\vec{OA},|^2=|\vec{OB}|^2+|\vec{OA}|^2-2\vec{OA}\cdot \vec{OB} $$

より

$$ 4^2=5^2+5^2-2\vec{OA}\cdot \vec{OB} $$

すなわち

$$ 16=50-2\vec{OA}\cdot \vec{OB} $$

であるから、

$$ \vec{OA}\cdot \vec{OB}=17 $$

となる。

したがって

$$ \vec{OA}\cdot \vec{AB} =\vec{OA}\cdot (\vec{OB}-\vec{OA}) =\vec{OA}\cdot \vec{OB}-|\vec{OA}|^2 =17-25=-8 $$

である。

（2）

まず、弦 $AB$ に対する中心角 $\alpha$ について

$$ AB^2=2\cdot 5^2(1-\cos\alpha) $$

より

$$ 16=50(1-\cos\alpha) $$

したがって

$$ \cos\alpha=\frac{17}{25} $$

である。

同様に、弦 $DC=5$ に対する中心角 $\gamma$ は

$$ 25=50(1-\cos\gamma) $$

より

$$ \cos\gamma=\frac12 $$

である。$0<\gamma<\pi$ だから

$$ \gamma=\frac{\pi}{3} $$

となる。

ここで、$P$ は弦 $AC$ と $BD$ の交点であるから、交わる2弦のなす角の定理より

$$ \theta=\angle APB=\frac12(\overset{\frown}{AB}+\overset{\frown}{CD}) =\frac{\alpha+\gamma}{2} $$

である。

次に、$\sin\alpha$ を求めると

$$ \sin\alpha=\sqrt{1-\cos^2\alpha} =\sqrt{1-\left(\frac{17}{25}\right)^2} =\frac{4\sqrt{21}}{25} $$

であり、$\sin\gamma=\dfrac{\sqrt3}{2}$ である。

よって

$$ \begin{aligned} \cos(\alpha+\gamma) &=\cos\alpha\cos\gamma-\sin\alpha\sin\gamma \\ &=\frac{17}{25}\cdot \frac12-\frac{4\sqrt{21}}{25}\cdot \frac{\sqrt3}{2} \\ &=\frac{17}{50}-\frac{4\sqrt{63}}{50} =\frac{17-4\sqrt{63}}{50} \end{aligned} $$

したがって

$$ \begin{aligned} \cos\theta &=\cos\frac{\alpha+\gamma}{2} \\ &=\sqrt{\frac{1+\cos(\alpha+\gamma)}{2}} \\ &=\sqrt{\frac{1+\frac{17-4\sqrt{63}}{50}}{2}} \\ &=\sqrt{\frac{67-4\sqrt{63}}{100}} \end{aligned} $$

ここで

$$ 67-4\sqrt{63}=(\sqrt{63}-2)^2 $$

であり、$0<\theta<\dfrac{\pi}{2}$ なので $\cos\theta>0$ である。ゆえに

$$ \cos\theta=\frac{\sqrt{63}-2}{10} =\frac{3\sqrt7-2}{10} $$

となる。

（3）

座標を

$$ O=(0,0),\quad A=(5,0),\quad D=(-5,0) $$

とおく。

すると、$B$ は中心角 $\alpha$ の位置、$C$ は $D$ から中心角 $\gamma$ だけ進んだ位置にあるので、

$$ B=(5\cos\alpha,\ 5\sin\alpha),\quad C=(-5\cos\gamma,\ 5\sin\gamma) $$

と表せる。

よって

$$ \vec{AB}=B-A=5(\cos\alpha-1,\ \sin\alpha) $$

また

$$ \vec{DC}=C-D=5(1-\cos\gamma,\ \sin\gamma) $$

である。

したがって

$$ \begin{aligned} \vec{AB}\cdot \vec{DC} &=25\left{(\cos\alpha-1)(1-\cos\gamma)+\sin\alpha\sin\gamma\right} \\ &=25\left{\left(\frac{17}{25}-1\right)\left(1-\frac12\right)+\frac{4\sqrt{21}}{25}\cdot \frac{\sqrt3}{2}\right} \\ &=25\left(-\frac{4}{25}+\frac{2\sqrt{63}}{25}\right) \\ &=-4+2\sqrt{63} \end{aligned} $$

ゆえに

$$ \vec{AB}\cdot \vec{DC}=2\sqrt{63}-4=6\sqrt7-4 $$

である。