方針・初手

まず，曲線 $C$ と $D$ が1点で接するという条件から $a,b$ の関係を求める。

その後，曲線 $D$ と $E$ の交点を求め，その間での面積 $S$ を $a$ の式で表す。最後にその式を最小化する。

解法1

$C:y=-x^2$ と $D:y=(x-a)^2+b$ が $x=t$ で接するとする。

接するので，その点で関数値と微分係数が一致する。したがって，

$$ -t^2=(t-a)^2+b $$

および

$$ -2t=2(t-a) $$

が成り立つ。

後式より

$$ -2t=2t-2a $$

であるから，

$$ a=2t $$

を得る。これを前式に代入すると，

$$ -t^2=(t-2t)^2+b=t^2+b $$

より

$$ b=-2t^2 $$

となる。さらに $a=2t$ より $t=\dfrac{a}{2}$ だから，

$$ b=-2\left(\frac{a}{2}\right)^2=-\frac{a^2}{2} $$

である。

したがって，$D$ は

$$ y=(x-a)^2-\frac{a^2}{2} $$

すなわち

$$ y=x^2-2ax+\frac{a^2}{2} $$

と表される。

次に，$E$ は

$$ y=\frac12(x-1)^2+1=\frac12x^2-x+\frac32 $$

であるから，$E-D$ は

$$ E-D === \left(\frac12x^2-x+\frac32\right)-\left(x^2-2ax+\frac{a^2}{2}\right) $$

$$ -\frac12x^2+(2a-1)x+\frac{3-a^2}{2} $$

となる。

$D$ と $E$ の交点の $x$ 座標を $x_1,x_2$ とすると，$E-D=0$ より

$$ -\frac12x^2+(2a-1)x+\frac{3-a^2}{2}=0 $$

すなわち

$$ x^2+2(1-2a)x+(a^2-3)=0 $$

である。

この2解を $x_1,x_2$ とすると，解の差は

$$ x_2-x_1=\sqrt{\Delta} $$

であり，判別式は

$$ \Delta={2(1-2a)}^2-4(a^2-3) =4(3a^2-4a+4) $$

だから，

$$ x_2-x_1=2\sqrt{3a^2-4a+4} $$

となる。

ここで

$$ E-D=-\frac12(x-x_1)(x-x_2)=\frac12(x-x_1)(x_2-x) $$

であるから，囲まれる面積 $S$ は

$$ S=\int_{x_1}^{x_2}(E-D),dx =\frac12\int_{x_1}^{x_2}(x-x_1)(x_2-x),dx $$

となる。$L=x_2-x_1$ とおき，$u=x-x_1$ とすると，

$$ S=\frac12\int_0^L u(L-u),du =\frac12\left[\frac{L}{2}u^2-\frac13u^3\right]_0^L =\frac{L^3}{12} $$

である。よって

$$ S=\frac1{12}\left(2\sqrt{3a^2-4a+4}\right)^3 =\frac23(3a^2-4a+4)^{3/2} $$

を得る。

したがって，$S$ を最小にするには

$$ 3a^2-4a+4 $$

を最小にすればよい。平方完成すると，

$$ 3a^2-4a+4 ========= 3\left(a-\frac23\right)^2+\frac83 $$

であるから，最小値は $a=\dfrac23$ のとき

$$ \frac83 $$

である。

ゆえに

$$ a=\frac23 $$

のとき $S$ は最小となる。また

$$ b=-\frac{a^2}{2}=-\frac12\left(\frac23\right)^2=-\frac29 $$

である。

このとき

$$ S_{\min} ======== # \frac23\left(\frac83\right)^{3/2} # \frac23\cdot\frac{16\sqrt6}{9} \frac{32\sqrt6}{27} $$

となる。

解説

接する条件から $a,b$ の間に関係式を作るのが第一歩である。これにより $D$ は1変数 $a$ のみで表せる。

次に，面積を直接積分してもよいが，二次関数 $E-D$ の2つの零点の差を使うと計算がかなり整理される。放物線と $x$ 軸で囲まれる面積が「解の差の3乗」に比例する形になるのがポイントである。

答え

$$ a=\frac23,\qquad b=-\frac29 $$

このとき，囲まれる部分の面積の最小値は

$$ S_{\min}=\frac{32\sqrt6}{27} $$

である。