トップ› 東北大学› 2008年› 理系第4問

東北大学 2008年理系第4問解説

方針・初手

座標の符号は移動の向きを決めるだけであり，終了するかどうかは原点からの距離 (d=|a|) だけで決まる。

まず (1\le d\le 6) のときの挙動を調べる。この範囲では，1回で終了する確率が常に (1/6) であり，終了しなければ再び距離は (1,2,\dots,5) のいずれかになる。したがって，終了までの回数は幾何分布になる。

そのうえで，初期座標が (8) の場合は，最初の1回で (7) に移る場合だけを別に扱えばよい。

解法1

座標 (a\neq 0) にいるとき，原点からの距離を (d=|a|) とおく。

(1\le d\le 6) なら，出目 (k=d) のときに限って原点に移動する。したがって，次の1回で終了する確率は常に

$$ \frac{1}{6} $$

である。

また，(k\neq d) なら終了せず，新しい距離は (|d-k|) である。このとき

$$ 1\le |d-k|\le 5 $$

となる。よって，終了しない限り，次の時点でも距離は再び (1,2,\dots,5) のいずれかである。

したがって，初期距離が (1,2,\dots,6) のいずれであっても，各回で「終了する確率」は毎回 (1/6) で一定である。

このとき，ちょうど (m) 回で終了する確率を (p_m) とすると，

最初の (m-1) 回では終了しない
(m) 回目で終了する

ので，

$$ p_m=\left(\frac{5}{6}\right)^{m-1}\frac{1}{6} \qquad (m=1,2,3,\dots) $$

である。

したがって，（2）の答えは

$$ \left(\frac{5}{6}\right)^{m-1}\frac{1}{6} $$

である。

（1）は (m=3) の場合であるから，

$$ p_3=\left(\frac{5}{6}\right)^2\frac{1}{6} =\frac{25}{216} $$

である。

次に（3）を考える。初期座標が (8) のとき，最初の1回で出目を (k) とすると，移動後の座標は (8-k) である。

ここで場合分けする。

（i） (k=1) のとき

1回目の後の座標は (7) である。この場合，2回目では原点に到達できず，2回目の後の座標は (1,2,\dots,6) のいずれかになる。したがって，その後ちょうど (n-2) 回で終了する確率は，上で求めた式より

$$ \left(\frac{5}{6}\right)^{n-3}\frac{1}{6} \qquad (n\ge 3) $$

である。よって，この場合の寄与は

$$ \frac{1}{6}\left(\frac{5}{6}\right)^{n-3}\frac{1}{6} $$

である。

（ii） (k=2,3,4,5,6) のとき

1回目の後の座標は (6,5,4,3,2) のいずれかであり，すでに (1,2,\dots,6) の範囲に入っている。したがって，その後ちょうど (n-1) 回で終了する確率は

$$ \left(\frac{5}{6}\right)^{n-2}\frac{1}{6} \qquad (n\ge 2) $$

である。よって，この場合の寄与は

$$ \frac{5}{6}\left(\frac{5}{6}\right)^{n-2}\frac{1}{6} $$

である。

以上より，(n\ge 3) では

$$ \begin{aligned} \Pr(\text{ちょうど }n\text{ 回で終了}) &=\frac{1}{6}\left(\frac{5}{6}\right)^{n-3}\frac{1}{6} +\frac{5}{6}\left(\frac{5}{6}\right)^{n-2}\frac{1}{6} \\ &=\frac{31\cdot 5^{n-3}}{6^n}. \end{aligned} $$

また，(n=1) では終了不可能なので確率は (0) である。(n=2) では，1回目に (2,3,4,5,6) が出て，2回目にちょうどその残りの距離が出ればよいから，

$$ \frac{5}{6}\cdot \frac{1}{6}=\frac{5}{36} $$

である。

したがって，（3）の答えは

$$ \Pr(\text{ちょうど }n\text{ 回で終了})= \begin{cases} 0 & (n=1),\\[4pt] \dfrac{5}{36} & (n=2),\\[6pt] \dfrac{31\cdot 5^{n-3}}{6^n} & (n\ge 3) \end{cases} $$

である。