東北大学 2009年 理系 第3問 解説

方針・初手

10個の玉を取り出す順番は、青玉7個・赤玉3個を並べた長さ10の列とみなせばよい。どの並びも等確率で起こるので、順に確率を掛ける方法と、赤玉の位置に着目する方法を使い分けると処理しやすい。

特に、（2）、（3） は「赤玉3個が10か所のどこに入るか」を考えると簡潔に求まる。（4） は期待値の線形性を用いるのが基本である。

解法1

（1） 4回目に初めて赤玉が取り出されるためには、1回目から3回目までがすべて青玉、4回目が赤玉であればよい。

したがって、その確率は

$$ \frac{7}{10}\cdot \frac{6}{9}\cdot \frac{5}{8}\cdot \frac{3}{7} = \frac{1}{8} $$

である。

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（2） 8回目が終わった時点で赤玉がすべて取り出されているとは、赤玉3個の位置がすべて1回目から8回目の中にあることを意味する。

10回の取り出しのうち、赤玉3個の位置の選び方は全部で

$$ {}_{10}\mathrm{C}_{3} $$

通りある。

そのうち、3個すべてが1回目から8回目に入るのは

$$ {}_{8}\mathrm{C}_{3} $$

通りである。よって求める確率は

$$ \frac{{}_{8}\mathrm{C}_{3}}{{}_{10}\mathrm{C}_{3}} = \frac{56}{120} = \frac{7}{15} $$

である。

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（3） 赤玉がちょうど8回目で全部取り出されるとは、8回目で最後の赤玉が出ることを意味する。

したがって、赤玉3個のうち1個は8回目にあり、残り2個は1回目から7回目のどこかにある。

赤玉3個の位置の選び方は全部で

$$ {}_{10}\mathrm{C}_{3} $$

通りであり、条件を満たすものは

$$ {}_{7}\mathrm{C}_{2} $$

通りである。したがって求める確率は

$$ \frac{{}_{7}\mathrm{C}_{2}}{{}_{10}\mathrm{C}_{3}} = \frac{21}{120} = \frac{7}{40} $$

である。

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（4） 4回目が終わった時点で取り出されている赤玉の個数を $X$ とする。

また、$i$ 回目に赤玉が出たとき1、そうでないとき0をとる確率変数を $X_i$ とすると、

$$ X = X_1 + X_2 + X_3 + X_4 $$

である。

期待値の線形性より

$$ E[X] = E[X_1] + E[X_2] + E[X_3] + E[X_4] $$

となる。

各回について、取り出される玉が赤玉である確率は対称性よりいずれも

$$ \frac{3}{10} $$

であるから、

$$ E[X_i] = \frac{3}{10} \quad (i=1,2,3,4) $$

である。よって

$$ E[X] = 4\cdot \frac{3}{10} = \frac{12}{10} = \frac{6}{5} $$

となる。

解説

この問題の本質は、「無作為に1個ずつ取り出す」ことを「10個の玉の並び順を等確率で決める」ことと同じとみなす点にある。

（1） は「最初の3回が青、4回目が赤」という順序条件がそのまま確率の積になる。

一方、（2）、（3） は順に掛けるよりも、赤玉3個の位置を組合せで数える方が自然である。特に （3） は「8回目が最後の赤玉」という条件を、「8回目に赤玉があり、残り2個が1～7回目にある」と言い換えるのが重要である。

（4） は分布を細かく求める必要はなく、期待値の線形性を使えば一気に処理できる。期待値は整数になるとは限らないので、$\frac{6}{5}$ という値でも問題ない。

答え

(1)

$$ \frac{1}{8} $$

(2)

$$ \frac{7}{15} $$

(3)

$$ \frac{7}{40} $$

(4)

$$ \frac{6}{5} $$