東北大学 1992年 理系 第4問 解説

方針・初手

1回目の出目を $A$，2回目の出目を $B$ とすると，点 $Q$ の移動量は

$$ X=A-B $$

である。

したがって，まず 2 個のサイコロの差の分布を数えればよい。(2) は $A,B$ の期待値と分散から処理できる。(3) はこの試行を 6 回繰り返したときの和を考え，最大値が $30$ であることを使って場合を数える。

解法1

1回目の出目を $A$，2回目の出目を $B$ とする。$A,B$ は独立で，ともに $1,2,3,4,5,6$ を等確率でとる。

このとき

$$ X=A-B $$

であるから，$X$ の取りうる値は

$$ -5,-4,-3,-2,-1,0,1,2,3,4,5 $$

である。

(1) $X$ の確率分布

$X=k$ となるのは $A-B=k$ を満たす組 $(A,B)$ の個数だけある。

たとえば，

• $X=5$ のとき $(A,B)=(6,1)$ の 1 通り
• $X=4$ のとき $(5,1),(6,2)$ の 2 通り
• $X=3$ のとき 3 通り

となる。一般に，$k=-5,-4,\dots,5$ に対して

$$ P(X=k)=\frac{6-|k|}{36} $$

である。

したがって確率分布は

$$ \begin{aligned} &P(X=\pm 5)=\frac{1}{36},\quad P(X=\pm 4)=\frac{2}{36},\quad P(X=\pm 3)=\frac{3}{36},\\ &P(X=\pm 2)=\frac{4}{36},\quad P(X=\pm 1)=\frac{5}{36},\quad P(X=0)=\frac{6}{36} \end{aligned} $$

である。

(2) $E(X),V(X)$

$X=A-B$ より，

$$ E(X)=E(A)-E(B) $$

である。

1 個のサイコロの期待値は

$$ E(A)=E(B)=\frac{1+2+3+4+5+6}{6}=\frac{7}{2} $$

だから，

$$ E(X)=\frac{7}{2}-\frac{7}{2}=0 $$

である。

次に分散を求める。まず

$$ E(A^2)=E(B^2)=\frac{1^2+2^2+3^2+4^2+5^2+6^2}{6} =\frac{91}{6} $$

であるから，

$$ V(A)=V(B)=\frac{91}{6}-\left(\frac{7}{2}\right)^2 =\frac{35}{12} $$

となる。

$A,B$ は独立なので，

$$ V(X)=V(A-B)=V(A)+V(B)=\frac{35}{12}+\frac{35}{12}=\frac{35}{6} $$

である。

(3) 6 回繰り返したとき，点 $Q$ が $29,28$ にある確率

各回の移動量を $X_1,X_2,\dots,X_6$ とすると，6 回後の位置 $S$ は

$$ S=X_1+X_2+\cdots+X_6 $$

である。

各 $X_i$ の最大値は $5$ だから，$S$ の最大値は

$$ 5\times 6=30 $$

である。

また，

$$ P(X=5)=\frac{1}{36},\quad P(X=4)=\frac{2}{36},\quad P(X=3)=\frac{3}{36} $$

である。

点 $Q$ が $29$ にある確率

$29$ は最大値 $30$ より 1 小さい。したがって，6 回のうち 5 回が $5$，1 回だけが $4$ でなければならない。

よって，

$$ P(S=29)={}_{6}\mathrm{C}_{1}\cdot \frac{2}{36}\left(\frac{1}{36}\right)^5 =\frac{12}{36^6} $$

である。

点 $Q$ が $28$ にある確率

$28$ は最大値 $30$ より 2 小さい。したがって次の 2 通りがある。

(i) 1 回だけ $3$ が出て，残り 5 回はすべて $5$

$$ {}_{6}\mathrm{C}_{1}\cdot \frac{3}{36}\left(\frac{1}{36}\right)^5 $$

(ii) 2 回だけ $4$ が出て，残り 4 回はすべて $5$

$$ {}_{6}\mathrm{C}_{2}\left(\frac{2}{36}\right)^2\left(\frac{1}{36}\right)^4 $$

したがって，

$$ \begin{aligned} P(S=28) &={}_{6}\mathrm{C}_{1}\cdot \frac{3}{36}\left(\frac{1}{36}\right)^5 +{}_{6}\mathrm{C}_{2}\left(\frac{2}{36}\right)^2\left(\frac{1}{36}\right)^4\ &=\frac{18}{36^6}+\frac{60}{36^6} =\frac{78}{36^6} \end{aligned} $$

である。

解説

この問題の本質は，移動量 $X$ を「2 個のサイコロの差」と見抜くことである。差の分布は両端ほど起こりにくく，$0$ に近いほど起こりやすい三角形型になる。

また，6 回繰り返したあとの $29,28$ は最大値 $30$ に非常に近いので，一般的な畳み込み計算をするよりも「最大値からどれだけ不足しているか」で場合分けするのが最も速い。入試ではこの見方が有効である。

答え

$$ P(X=k)=\frac{6-|k|}{36}\qquad (k=-5,-4,\dots,5) $$

すなわち，

$$ \begin{aligned} &P(X=\pm 5)=\frac{1}{36},\quad P(X=\pm 4)=\frac{2}{36},\quad P(X=\pm 3)=\frac{3}{36},\ &P(X=\pm 2)=\frac{4}{36},\quad P(X=\pm 1)=\frac{5}{36},\quad P(X=0)=\frac{6}{36} \end{aligned} $$

である。

$$ E(X)=0,\qquad V(X)=\frac{35}{6} $$

また，6 回繰り返したときの位置を $S$ とすると，

$$ P(S=29)=\frac{12}{36^6},\qquad P(S=28)=\frac{78}{36^6} $$

である。