トップ› 東北大学› 2008年› 文系第3問

東北大学 2008年文系第3問解説

方針・初手

$\angle A_1OA_2 = \theta$ とおき、直角三角形の三角比を利用して線分 $OA_k$ の長さの規則性を見抜くことが第一歩です。すべての自然数 $k$ において $\triangle OA_kA_{k+1}$ が $\angle OA_{k+1}A_k = 90^\circ$ の直角三角形になることを確認し、$A_kA_{k+1}$ や $OA_k$ の長さを $\theta$ を用いて一般化します。 (2)では、点 $A_k$ が2つの半直線 $OA_1, OA_2$ 上を交互に移動することに注意して、ベクトルを座標成分や方向ベクトルを用いて表し、内積を計算します。

解法1

(1)

$\angle A_1OA_2 = \theta \ (0^\circ < \theta < 90^\circ)$ とおく。条件より $\triangle OA_1A_2$ は $\angle OA_2A_1 = 90^\circ$ の直角三角形であるから、次が成り立つ。

$$ \cos\theta = \frac{OA_2}{OA_1} = \frac{\frac{1}{\sqrt{3}}}{1} = \frac{1}{\sqrt{3}} $$

また、$\sin\theta > 0$ より、$\sin\theta = \sqrt{1 - \cos^2\theta} = \sqrt{\frac{2}{3}}$ である。

点 $A_3, A_4, \dots$ の作図手順から、点 $A_1, A_3, A_5, \dots$ は半直線 $OA_1$ 上にあり、点 $A_2, A_4, A_6, \dots$ は半直線 $OA_2$ 上にある。したがって、任意の自然数 $k$ について $\angle A_kOA_{k+1} = \theta$ である。また、$A_{k+1}$ は $A_k$ から直線 $OA_{k-1}$ に下ろした垂線の足であるから、$\triangle OA_kA_{k+1}$ は $\angle OA_{k+1}A_k = 90^\circ$ の直角三角形となる。よって、以下の関係式が成り立つ。

$$ OA_{k+1} = OA_k \cos\theta = \frac{1}{\sqrt{3}} OA_k $$

$$ A_kA_{k+1} = OA_k \sin\theta = \sqrt{\frac{2}{3}} OA_k $$

数列 $\{OA_k\}$ は初項 $OA_1 = 1$、公比 $\frac{1}{\sqrt{3}}$ の等比数列であるから、その一般項は次のように表される。

$$ OA_k = \left( \frac{1}{\sqrt{3}} \right)^{k-1} $$

これを $A_kA_{k+1}$ の式に代入して、求める長さを得る。

$$ A_kA_{k+1} = \sqrt{\frac{2}{3}} \left( \frac{1}{\sqrt{3}} \right)^{k-1} $$

(2)

点 $O$ を原点とし、半直線 $OA_1$ が $x$ 軸の正の向きと一致する座標平面を設定する。点 $A_{2m-1}$ は $x$ 軸上にあり、点 $A_{2m}$ は原点を通る傾き $\tan\theta$ の直線上にあるため、自然数 $m$ を用いて位置ベクトルを次のように成分表示できる。

$$ \begin{aligned} \overrightarrow{OA_{2m-1}} &= (OA_{2m-1}, 0) \\ \overrightarrow{OA_{2m}} &= (OA_{2m}\cos\theta, OA_{2m}\sin\theta) \end{aligned} $$

自然数 $k$ の偶奇で場合分けをして $\overrightarrow{h_k} \cdot \overrightarrow{h_{k+1}}$ を計算する。

(i) $k=2m-1$ （奇数）のとき

$$ \overrightarrow{h_{2m-1}} = \overrightarrow{OA_{2m}} - \overrightarrow{OA_{2m-1}} = (OA_{2m}\cos\theta - OA_{2m-1}, OA_{2m}\sin\theta) $$

ここで $OA_{2m} = OA_{2m-1}\cos\theta$ であるから、$x$ 成分は次のように変形できる。

$$ OA_{2m}\cos\theta - OA_{2m-1} = OA_{2m-1}(\cos^2\theta - 1) = -OA_{2m-1}\sin^2\theta $$

したがって、$\overrightarrow{h_{2m-1}} = (-OA_{2m-1}\sin^2\theta, OA_{2m}\sin\theta)$ となる。次に、$\overrightarrow{h_{2m}}$ を計算する。

$$ \overrightarrow{h_{2m}} = \overrightarrow{OA_{2m+1}} - \overrightarrow{OA_{2m}} = (OA_{2m+1} - OA_{2m}\cos\theta, -OA_{2m}\sin\theta) $$

$OA_{2m+1} = OA_{2m}\cos\theta$ より $x$ 成分は $0$ となるため、$\overrightarrow{h_{2m}} = (0, -OA_{2m}\sin\theta)$ である。よって、これらの内積は次のようになる。

$$ \overrightarrow{h_{2m-1}} \cdot \overrightarrow{h_{2m}} = 0 - OA_{2m}^2 \sin^2\theta = -(OA_{2m-1}\cos\theta)^2 \sin^2\theta = -OA_{2m-1}^2 \cos^2\theta \sin^2\theta $$

(ii) $k=2m$ （偶数）のとき

(i) と同様の計算から $\overrightarrow{h_{2m}} = (0, -OA_{2m}\sin\theta)$ である。

$$ \begin{aligned} \overrightarrow{h_{2m+1}} &= \overrightarrow{OA_{2m+2}} - \overrightarrow{OA_{2m+1}} \\ &= (OA_{2m+2}\cos\theta - OA_{2m+1}, OA_{2m+2}\sin\theta) \\ &= (OA_{2m+1}\cos^2\theta - OA_{2m+1}, OA_{2m+2}\sin\theta) \\ &= (-OA_{2m+1}\sin^2\theta, OA_{2m+2}\sin\theta) \end{aligned} $$

よって、これらの内積は次のようになる。

$$ \overrightarrow{h_{2m}} \cdot \overrightarrow{h_{2m+1}} = 0 - OA_{2m} OA_{2m+2} \sin^2\theta $$

$OA_{2m+2} = OA_{2m}\cos^2\theta$ を代入すると、次を得る。

$$ \overrightarrow{h_{2m}} \cdot \overrightarrow{h_{2m+1}} = -OA_{2m}^2 \cos^2\theta \sin^2\theta $$

(i), (ii) より、すべての自然数 $k$ に対して $\overrightarrow{h_k} \cdot \overrightarrow{h_{k+1}} = -OA_k^2 \cos^2\theta \sin^2\theta$ が成り立つ。これに $OA_k = \left(\frac{1}{\sqrt{3}}\right)^{k-1}$、$\cos^2\theta = \frac{1}{3}$、$\sin^2\theta = \frac{2}{3}$ を代入する。

$$ \overrightarrow{h_k} \cdot \overrightarrow{h_{k+1}} = - \left( \frac{1}{3} \right)^{k-1} \cdot \frac{1}{3} \cdot \frac{2}{3} = -\frac{2}{9} \left( \frac{1}{3} \right)^{k-1} $$

求める和は、初項 $-\frac{2}{9}$、公比 $\frac{1}{3}$ の等比数列の第 $n$ 項までの和である。

$$ \sum_{k=1}^n \overrightarrow{h_k} \cdot \overrightarrow{h_{k+1}} = \sum_{k=1}^n \left\{ -\frac{2}{9} \left( \frac{1}{3} \right)^{k-1} \right\} = \frac{-\frac{2}{9} \left\{ 1 - \left(\frac{1}{3}\right)^n \right\}}{1 - \frac{1}{3}} = -\frac{1}{3} \left( 1 - \frac{1}{3^n} \right) $$

解法2

(2)の別解

半直線 $OA_1, OA_2$ と同じ向きの単位ベクトルをそれぞれ $\vec{u}, \vec{v}$ とする。なす角が $\theta$ であるから $\vec{u} \cdot \vec{v} = \cos\theta = \frac{1}{\sqrt{3}}$ である。

(i) $k$ が奇数のとき

点 $A_k, A_{k+2}$ は半直線 $OA_1$ 上、点 $A_{k+1}$ は半直線 $OA_2$ 上にあるから、位置ベクトルは次のように表される。

$$ \overrightarrow{OA_k} = OA_k \vec{u}, \quad \overrightarrow{OA_{k+1}} = OA_{k+1} \vec{v}, \quad \overrightarrow{OA_{k+2}} = OA_{k+2} \vec{u} $$

これより、$\overrightarrow{h_k}$ および $\overrightarrow{h_{k+1}}$ を $\vec{u}, \vec{v}$ で表す。

$$ \overrightarrow{h_k} = OA_{k+1} \vec{v} - OA_k \vec{u} = OA_k (\cos\theta \vec{v} - \vec{u}) $$

$$ \overrightarrow{h_{k+1}} = OA_{k+2} \vec{u} - OA_{k+1} \vec{v} = OA_{k+1} (\cos\theta \vec{u} - \vec{v}) $$

この2つのベクトルの内積を計算する。

$$ \begin{aligned} \overrightarrow{h_k} \cdot \overrightarrow{h_{k+1}} &= OA_k OA_{k+1} (\cos\theta \vec{v} - \vec{u}) \cdot (\cos\theta \vec{u} - \vec{v}) \\ &= OA_k OA_{k+1} \left( \cos^2\theta (\vec{u} \cdot \vec{v}) - \cos\theta |\vec{v}|^2 - \cos\theta |\vec{u}|^2 + \vec{u} \cdot \vec{v} \right) \\ &= OA_k^2 \cos\theta ( \cos^3\theta - 2\cos\theta + \cos\theta ) \\ &= OA_k^2 \cos\theta ( \cos^3\theta - \cos\theta ) \\ &= -OA_k^2 \cos^2\theta \sin^2\theta \end{aligned} $$

(ii) $k$ が偶数のとき

点 $A_k, A_{k+2}$ は半直線 $OA_2$ 上、点 $A_{k+1}$ は半直線 $OA_1$ 上にある。

$$ \overrightarrow{OA_k} = OA_k \vec{v}, \quad \overrightarrow{OA_{k+1}} = OA_{k+1} \vec{u}, \quad \overrightarrow{OA_{k+2}} = OA_{k+2} \vec{v} $$

(i) と同様に計算すると、以下のようになり全く同じ結果を得る。

$$ \overrightarrow{h_k} = OA_k (\cos\theta \vec{u} - \vec{v}) $$

$$ \overrightarrow{h_{k+1}} = OA_{k+1} (\cos\theta \vec{v} - \vec{u}) $$

$$ \overrightarrow{h_k} \cdot \overrightarrow{h_{k+1}} = -OA_k^2 \cos^2\theta \sin^2\theta $$

以下、解法1と同様に値を代入し、等比数列の和の公式を用いて和を求める。

解説

無限に続く直角三角形の相似と等比数列を組み合わせた典型的な問題です。冒頭で $\angle OA_2A_1 = 90^\circ$ という条件から「$\angle A_2$ が直角である」ことを正しく読み取れるかが最初の関門です。ここで $\angle A_1$ を直角と勘違いしてしまうと、その後の長さの比率がすべて崩れてしまいます。 (2)の内積計算では、偶数番目と奇数番目で直線の役割が入れ替わります。解法1のように座標を設定して成分で愚直に計算するか、解法2のように方向ベクトルを用いて式変形するか、自分が確実に計算しきれる方を選ぶとよいでしょう。どちらの解法でも、最終的に $k$ の偶奇によらず内積が同じ形 $-OA_k^2 \cos^2\theta \sin^2\theta$ にまとめられる構造の美しさが実感できるはずです。