東北大学 2009年 文系 第3問 解説

方針・初手

赤玉3個の出る順序だけに注目すると、10回の取り出し位置のうちどこに赤玉が入るかは一様に決まると考えられる。

したがって、順に掛け算して求めてもよいが、位置の組合せで考えると整理しやすい。

解法1

(1) 4回目に初めて赤玉が取り出される確率

4回目に初めて赤玉が出るためには、1～3回目がすべて青玉で、4回目が赤玉であればよい。

したがって求める確率は

$$ \frac{7}{10}\cdot \frac{6}{9}\cdot \frac{5}{8}\cdot \frac{3}{7} $$

である。これを計算すると

$$ \frac{7\cdot 6\cdot 5\cdot 3}{10\cdot 9\cdot 8\cdot 7} =\frac{6\cdot 5\cdot 3}{10\cdot 9\cdot 8} =\frac{90}{720} =\frac18 $$

よって、求める確率は $\dfrac18$ である。

(2) 8回目が終わった時点で赤玉がすべて取り出されている確率

これは、赤玉3個の位置がすべて1～8回目の中に入る確率である。

10個の位置のうち赤玉3個の位置の選び方は

$$ {}_{10}\mathrm{C}_{3} $$

通りある。

そのうち、赤玉3個がすべて1～8回目にある選び方は

$$ {}_{8}\mathrm{C}_{3} $$

通りである。

したがって、求める確率は

$$ \frac{{}_{8}\mathrm{C}_{3}}{{}_{10}\mathrm{C}_{3}} =\frac{56}{120} =\frac{7}{15} $$

である。

(3) 赤玉がちょうど8回目ですべて取り出される確率

これは、3個目の赤玉が8回目に出る確率である。

したがって、赤玉3個の位置のうち1つが8回目であり、残り2つが1～7回目にあればよい。

赤玉3個の位置の選び方全体は

$$ {}_{10}\mathrm{C}_{3} $$

通りである。

このうち条件を満たすものは、1～7回目から2か所を選び、さらに8回目を赤玉の位置にするので

$$ {}_{7}\mathrm{C}_{2} $$

通りである。

よって、求める確率は

$$ \frac{{}_{7}\mathrm{C}_{2}}{{}_{10}\mathrm{C}_{3}} =\frac{21}{120} =\frac{7}{40} $$

である。

解説

この問題は、取り出す順番をそのまま追っても解けるが、赤玉の位置に注目すると簡潔になる。

(2) では「8回目までに赤玉3個がすべて出る」とは「赤玉の位置がすべて1～8回目に入る」という意味である。

(3) では「ちょうど8回目ですべて取り出される」とは「3個目の赤玉の位置が8回目である」という意味であり、(2) との違いは8回目に赤玉が必ず出る点である。この条件の差を正確に読むことが重要である。

答え

$$ \text{(1)}\ \frac18,\qquad \text{(2)}\ \frac{7}{15},\qquad \text{(3)}\ \frac{7}{40} $$