東北大学 2015年 文系 第1問 解説

方針・初手

与えられた条件は

$$ (a_{n+1}-a_n)^2=3(a_n+a_{n+1}) $$

と書き直せる。これを固定した $a_{n+1}$ に関する二次方程式とみると、$a_n$ と $a_{n+2}$ が同じ方程式の解になる。これにより （1） がすぐ出る。

その後、差 $b_n=a_{n+1}-a_n$ を見ると、（1） から $b_{n+1}-b_n$ が一定になるので、${b_n}$ は等差数列である。最後にそれを足し上げれば ${a_n}$ の一般項が求まる。

解法1

(1)

$a_n+a_{n+2}$ を $a_{n+1}$ で表す。

与式

$$ a_n^2-2a_na_{n+1}+a_{n+1}^2=3(a_n+a_{n+1}) $$

を $a_n$ について整理すると

$$ a_n^2-(2a_{n+1}+3)a_n+(a_{n+1}^2-3a_{n+1})=0 $$

となる。

一方、添字を $n+1$ にずらした式

$$ a_{n+1}^2-2a_{n+1}a_{n+2}+a_{n+2}^2=3(a_{n+1}+a_{n+2}) $$

を $a_{n+2}$ について整理すると

$$ a_{n+2}^2-(2a_{n+1}+3)a_{n+2}+(a_{n+1}^2-3a_{n+1})=0 $$

となる。

したがって、$a_n$ と $a_{n+2}$ はともに

$$ x^2-(2a_{n+1}+3)x+(a_{n+1}^2-3a_{n+1})=0 $$

の解である。よって解と係数の関係より

$$ a_n+a_{n+2}=2a_{n+1}+3 $$

である。

(2)

$b_n=a_{n+1}-a_n$ の一般項を求める。

（1） の結果より

$$ a_n+a_{n+2}=2a_{n+1}+3 $$

であるから、

$$ (a_{n+2}-a_{n+1})-(a_{n+1}-a_n)=a_{n+2}+a_n-2a_{n+1}=3 $$

となる。すなわち

$$ b_{n+1}-b_n=3 $$

である。よって ${b_n}$ は公差 $3$ の等差数列である。

初項を求めるために $n=1$ を与式に代入する。

$$ 3^2-2\cdot 3a_2+a_2^2=3(3+a_2) $$

より

$$ a_2^2-9a_2=0 $$

すなわち

$$ a_2(a_2-9)=0 $$

である。条件 $a_2>a_1=3$ より $a_2=9$ である。したがって

$$ b_1=a_2-a_1=9-3=6 $$

となる。

ゆえに

$$ b_n=b_1+3(n-1)=6+3(n-1)=3n+3 $$

である。

（3） 数列 ${a_n}$ の一般項を求める。

$b_n=a_{n+1}-a_n=3n+3$ であるから、

$$ a_n=a_1+\sum_{k=1}^{n-1}b_k $$

より

$$ a_n=3+\sum_{k=1}^{n-1}(3k+3) $$

となる。これを計算すると

$$ \begin{aligned} a_n &=3+3\sum_{k=1}^{n-1}k+3(n-1) \\ &=3+3\cdot \frac{(n-1)n}{2}+3(n-1) \\ &=3+\frac{3(n-1)(n+2)}{2} \\ &=\frac{3n(n+1)}{2} \end{aligned} $$

したがって

$$ a_n=\frac{3n(n+1)}{2} $$

である。

解説

この問題の要点は、与式を単に差の式として扱うだけでなく、固定した $a_{n+1}$ に対する二次方程式 とみることである。すると $a_n$ と $a_{n+2}$ が同じ方程式の2解となり、$a_n+a_{n+2}$ が直ちに求まる。

そこから

$$ b_{n+1}-b_n=a_{n+2}+a_n-2a_{n+1} $$

を見ると一定値 $3$ になるので、差の数列 ${b_n}$ は等差数列である。数列本体 ${a_n}$ はその和として求めるのが自然である。

答え

$$ a_n+a_{n+2}=2a_{n+1}+3 $$

$$ b_n=3n+3 $$

$$ a_n=\frac{3n(n+1)}{2} $$