東北大学 2018年 理系 第2問 解説

方針・初手

各回に出る数を $X_1,X_2,\dots$ とし，

$$ S_a=X_1+X_2+\cdots+X_a $$

とおくと，$p(a)$ は

$$ p(a)=P(S_{a-1}<n,\ S_a\ge n) $$

である。

したがって，「$a-1$ 回目までは和が $n$ 未満で，$a$ 回目で初めて $n$ 以上になる」ような並びを数えればよい。各回の結果は独立で，全部で $n^a$ 通りである。

解法1

（1） $p(1),,p(n)$

まず $p(1)$ について考える。

1回目で初めて和が $n$ 以上になるとは，1回目に引いた数が $n$ であることと同値である。よって

$$ p(1)=\frac{1}{n} $$

である。

次に $p(n)$ を考える。

$n-1$ 回引いた時点で和が $n$ 未満である必要があるが，各回少なくとも $1$ であるから

$$ S_{n-1}\ge n-1 $$

である。したがって $S_{n-1}<n$ となるためには

$$ S_{n-1}=n-1 $$

でなければならない。しかもこれは，最初の $n-1$ 回がすべて $1$ のときに限る。

このとき $n$ 回目は何を引いても和は $n$ 以上になる。よって

$$ p(n)=\left(\frac{1}{n}\right)^{n-1} $$

である。

（2） $p(2)$

2回目で初めて和が $n$ 以上になるための条件は

$$ X_1<n,\qquad X_1+X_2\ge n $$

である。

$X_1=x$ とすると，$x$ は $1,2,\dots,n-1$ のいずれかであり，このとき $X_2$ は

$$ X_2\ge n-x $$

を満たせばよい。$X_2$ の取り方は

$$ n-x,\ n-x+1,\ \dots,\ n $$

の $x+1$ 通りである。

したがって条件を満たす組 $(X_1,X_2)$ の総数は

$$ \sum_{x=1}^{n-1}(x+1) =\left(\sum_{x=1}^{n-1}x\right)+(n-1) =\frac{(n-1)n}{2}+(n-1) =\frac{(n-1)(n+2)}{2} $$

となる。

全事象は $n^2$ 通りなので，

$$ p(2)=\frac{(n-1)(n+2)}{2n^2} $$

である。

（3） $n\ge 3$ のときの $p(3)$

3回目で初めて和が $n$ 以上になる条件は

$$ X_1+X_2<n,\qquad X_1+X_2+X_3\ge n $$

である。

ここで

$$ X_1+X_2=k $$

とおくと，$k$ は $2,3,\dots,n-1$ を動く。

和が $k$ となる $(X_1,X_2)$ の組の数は

$$ (1,k-1),(2,k-2),\dots,(k-1,1) $$

より $k-1$ 通りである。

また，このとき $X_3$ は

$$ X_3\ge n-k $$

を満たせばよいから，

$$ X_3=n-k,\ n-k+1,\ \dots,\ n $$

の $k+1$ 通りである。

よって条件を満たす $(X_1,X_2,X_3)$ の総数は

$$ \sum_{k=2}^{n-1}(k-1)(k+1) =\sum_{k=2}^{n-1}(k^2-1) $$

である。

これを計算すると，

$$ \sum_{k=2}^{n-1}(k^2-1) =\left(\sum_{k=1}^{n-1}k^2\right)-(n-1) =\frac{(n-1)n(2n-1)}{6}-(n-1) $$

したがって

$$ \sum_{k=2}^{n-1}(k^2-1) =\frac{(n-1)(2n^2-n-6)}{6} =\frac{(n-1)(n-2)(2n+3)}{6} $$

となる。

全事象は $n^3$ 通りであるから，

$$ p(3)=\frac{(n-1)(n-2)(2n+3)}{6n^3} $$

である。

解説

この問題の要点は，「初めて $n$ 以上になる」という条件を

$$ S_{a-1}<n,\qquad S_a\ge n $$

と書き直すことである。

$p(2)$ では $X_1=x$ を固定して数えればよく，$p(3)$ では $X_1+X_2=k$ を固定すると整理しやすい。特に $p(3)$ でいきなり3変数を同時に数えようとすると見通しが悪くなるので，まず2回目までの和で分類するのが典型的な処理である。

また $p(n)$ では，$n-1$ 回で和が $n$ 未満という条件に対して，各回が少なくとも $1$ であることを使うのが決定的である。

答え

$$ p(1)=\frac{1}{n} $$

$$ p(n)=\left(\frac{1}{n}\right)^{n-1} $$

$$ p(2)=\frac{(n-1)(n+2)}{2n^2} $$

$$ p(3)=\frac{(n-1)(n-2)(2n+3)}{6n^3}\qquad (n\ge 3) $$