東北大学 2016年 理系 第3問 解説

方針・初手

$a,b,c$ は出た順に定まるので、全事象は $6^3=216$ 通りである。

三角形になるかどうかや、その三角形が直角・鈍角のいずれかは、3つの数を小さい順に $x \leqq y \leqq z$ と並べて考えると判定しやすい。三角形成立条件は $x+y>z$ であり、さらに

$$ x^2+y^2=z^2 $$

なら直角三角形、

$$ x^2+y^2<z^2 $$

なら鈍角三角形である。したがって、まず小さい順に並べた組 $(x,y,z)$ を数え、その後に順列の個数を掛ければよい。

解法1

3回の出方は全部で

$$ 6^3=216 $$

通りである。

（1） 直角三角形になる確率

3辺を小さい順に $x \leqq y \leqq z$ とする。直角三角形になるためには

$$ x^2+y^2=z^2 $$

を満たす必要がある。

$1$ 以上 $6$ 以下の整数でこの条件を満たす組を調べると、三角形の3辺となるものは

$$ (3,4,5) $$

だけである。したがって、$(a,b,c)$ は $(3,4,5)$ の並べ替えであればよい。

$3,4,5$ はすべて異なるので、その並べ方は

$$ 3!=6 $$

通りである。よって求める確率は

$$ \frac{6}{216}=\frac{1}{36} $$

である。

（2） 鈍角三角形になる確率

同様に、3辺を小さい順に $x \leqq y \leqq z$ とする。鈍角三角形になる条件は

$$ x+y>z,\qquad x^2+y^2<z^2 $$

である。

ここで最大辺 $z$ ごとに調べる。

$z=1,2$ のときは鈍角三角形はできない。

$z=3$ のとき、三角形条件を満たす候補のうち鈍角になるのは

$$ (2,2,3) $$

のみである。

$z=4$ のとき、鈍角になるのは

$$ (2,3,4) $$

のみである。

$z=5$ のとき、鈍角になるのは

$$ (2,4,5),\ (3,3,5) $$

である。なお $(3,4,5)$ は直角三角形である。

$z=6$ のとき、鈍角になるのは

$$ (2,5,6),\ (3,4,6),\ (3,5,6),\ (4,4,6) $$

である。

以上より、小さい順に並べた鈍角三角形の辺の組は

$$ (2,2,3),\ (2,3,4),\ (2,4,5),\ (3,3,5),\ (2,5,6),\ (3,4,6),\ (3,5,6),\ (4,4,6) $$

の8個である。

このうち、2辺が等しいもの

$$ (2,2,3),\ (3,3,5),\ (4,4,6) $$

はそれぞれ並べ方が $3$ 通り、3辺がすべて異なるもの

$$ (2,3,4),\ (2,4,5),\ (2,5,6),\ (3,4,6),\ (3,5,6) $$

はそれぞれ並べ方が $6$ 通りである。

したがって有利な場合の数は

$$ 3+6+6+3+6+6+6+3=39 $$

通りである。よって求める確率は

$$ \frac{39}{216}=\frac{13}{72} $$

である。

解説

この問題では、出た順のまま考えるよりも、まず3つの数を小さい順に並べて最大辺を決めるのが基本である。三角形の成立条件 $x+y>z$ と、鋭角・直角・鈍角の判定

$$ x^2+y^2 \gtrless z^2 $$

を使えば、図形の問題を整数の数え上げに落とし込める。

直角三角形については、整数辺で $6$ 以下という制約が強く、結局 $(3,4,5)$ しか存在しない。鈍角三角形については、最大辺 $z$ ごとに場合分けすると漏れなく数えられる。

答え

(1)

直角三角形の3辺の長さとなる確率は

$$ \frac{1}{36} $$

である。

(2)

鈍角三角形の3辺の長さとなる確率は

$$ \frac{13}{72} $$

である。