東北大学 2019年 文系 第4問 解説

方針・初手

金貨は一度銀貨になると，その後ふたたび金貨に戻ることはない。したがって，各初期金貨が $k$ 回目の試行の直後まで残っている条件を考えるのが最も簡潔である。

1枚の初期金貨が $k$ 回目の直後まで残るのは，$k$ 回すべてで表が出たときに限る。よってその確率は $2^{-k}$ であり，残る金貨の枚数は二項分布で表される。

解法1

最初にあった $n$ 枚の金貨をそれぞれ区別して考える。

まず （1） を求める。

ある1枚の初期金貨が1回目の試行の直後に残るのは，その試行で表が出たときに限るから，その確率は $1/2$ である。したがって，1回目の直後に金貨が $j$ 枚残る確率は二項分布により

$$ P_1(j)={}_{n}\mathrm{C}_{j}\left(\frac12\right)^j\left(\frac12\right)^{n-j} ={}_{n}\mathrm{C}_{j}\frac1{2^n} \qquad (0\le j\le n) $$

である。

次に （2） を求める。

ある1枚の初期金貨が $k$ 回目の試行の直後まで金貨として残るためには，1回目から $k$ 回目まで毎回表が出なければならない。途中で一度でも裏が出れば，その時点で銀貨に取り替えられ，その後はずっと銀貨のままである。

よって，この1枚が $k$ 回目の直後に金貨である確率は

$$ \left(\frac12\right)^k=\frac1{2^k} $$

である。

また，各初期金貨について表裏は互いに独立であるから，$k$ 回目の直後に残る金貨の枚数は，成功確率 $2^{-k}$ の二項分布に従う。したがって

$$ P_k(j)={}_{n}\mathrm{C}_{j}\left(\frac1{2^k}\right)^j \left(1-\frac1{2^k}\right)^{n-j} \qquad (0\le j\le n,\ k\ge 2) $$

である。

最後に （3） を求める。$n=3$ とする。

$X_k$ を $k$ 回目の試行の直後に残る金貨の枚数とする。求める事象は

$$ {X_2\ge 1,\ X_3=0} $$

である。

金貨の枚数は試行を重ねるごとに増えないので，

$$ {X_2\ge 1,\ X_3=0} ================== {X_3=0}\setminus {X_2=0} $$

が成り立つ。したがって，求める確率は

$$ P_3(0)-P_2(0) $$

である。

一般式を用いると，

$$ P_3(0)=\left(1-\frac18\right)^3=\left(\frac78\right)^3, \qquad P_2(0)=\left(1-\frac14\right)^3=\left(\frac34\right)^3 $$

より，

$$ P_3(0)-P_2(0) ============= # \left(\frac78\right)^3-\left(\frac34\right)^3 # \frac{343}{512}-\frac{216}{512} \frac{127}{512} $$

となる。

解説

この問題では，「その時点で何枚の金貨が残っているか」を逐次追うよりも，「最初にあった1枚の金貨が $k$ 回後にも残っているか」を考えるのが本質である。

1枚の初期金貨が $k$ 回後にも残るためには，$k$ 回連続で表を出さなければならないので，その確率は $2^{-k}$ である。各金貨は独立に振る舞うから，残る金貨の枚数はそのまま二項分布になる。

また （3） では，金貨の枚数が単調減少することを用いて

$$ {X_2\ge 1,\ X_3=0} ================== {X_3=0}\setminus{X_2=0} $$

と見ると，直接場合分けをするよりも簡潔に計算できる。

答え

$$ P_1(j)={}_{n}\mathrm{C}_{j}\frac1{2^n} \qquad (0\le j\le n) $$

$$ P_k(j)={}_{n}\mathrm{C}_{j}\left(\frac1{2^k}\right)^j \left(1-\frac1{2^k}\right)^{n-j} \qquad (0\le j\le n,\ k\ge 2) $$

$n=3$ のとき，2回目の直後には少なくとも1枚の金貨が残るが，3回目の試行の直後には3枚すべてが銀貨になる確率は

$$ \frac{127}{512} $$

である。