東北大学 2019年 文系 第3問 解説

方針・初手

与えられた漸化式は

$$ a_{n+2}a_n=2a_{n+1}^2 $$

という積の形である。そこで、隣り合う項の比

$$ b_n=\frac{a_{n+1}}{a_n} $$

に着目すると、漸化式が一次の等比型に落ちる。まず比 $b_n$ を求め、そこから $a_n$ を積の形で復元するのが自然である。

解法1

まず $a_1=1,\ a_2=3$ であるから $a_1,\ a_2\neq 0$ である。さらに、$a_n,\ a_{n+1}\neq 0$ なら

$$ a_{n+2}=\frac{2a_{n+1}^2}{a_n}\neq 0 $$

であるから、帰納的にすべての $n$ について $a_n\neq 0$ である。したがって比

$$ b_n=\frac{a_{n+1}}{a_n} $$

をすべての $n$ で定めることができる。

このとき、もとの漸化式を $a_{n+1}a_n$ で割ると

$$ \frac{a_{n+2}}{a_{n+1}}=2\frac{a_{n+1}}{a_n} $$

となるので、

$$ b_{n+1}=2b_n $$

を得る。また

$$ b_1=\frac{a_2}{a_1}=3 $$

であるから、${b_n}$ は初項 $3$、公比 $2$ の等比数列であり、

$$ b_n=3\cdot 2^{n-1} $$

である。

したがって

$$ a_{n+1}=b_n a_n=3\cdot 2^{n-1}a_n $$

となるので、これを繰り返し用いると

$$ \begin{aligned} a_n &=a_1\prod_{k=1}^{n-1} b_k \\ &=\prod_{k=1}^{n-1}\left(3\cdot 2^{k-1}\right) \\ &=3^{n-1}\cdot 2^{\sum_{k=1}^{n-1}(k-1)} \\ &=3^{n-1}\cdot 2^{0+1+\cdots +(n-2)} \\ &=3^{n-1}\cdot 2^{\frac{(n-1)(n-2)}{2}}. \end{aligned} $$

よって （1） すべての正の整数 $n$ について

$$ a_n=3^{n-1}\cdot 2^{\frac{(n-1)(n-2)}{2}} $$

であるから、$a_n$ は整数である。

また （2） 一般項は

$$ a_n=3^{n-1}\cdot 2^{\frac{(n-1)(n-2)}{2}} $$

である。

解説

この問題の要点は、二次的に見える漸化式

$$ a_{n+2}a_n=2a_{n+1}^2 $$

を、そのまま扱わずに隣接比 $\dfrac{a_{n+1}}{a_n}$ に直すことである。すると

$$ \frac{a_{n+2}}{a_{n+1}}=2\frac{a_{n+1}}{a_n} $$

となり、比の数列がただの等比数列になる。あとは $a_n$ を比の積として戻せば一般項が得られる。

答え

$$ a_n=3^{n-1}\cdot 2^{\frac{(n-1)(n-2)}{2}} \qquad (n=1,2,3,\dots) $$

したがって、すべての正の整数 $n$ について $a_n$ は整数である。