トップ› 東北大学› 1965年› 理系第6問

東北大学 1965年理系第6問解説

方針・初手

$x$軸まわりの回転体の体積を定積分を用いて表す。被積分関数には $\sin^4$ が現れるため、半角の公式を繰り返し用いて次数を下げてから積分を実行する。

体積 $V$ は $a$ を含む式と定数の積で表されるので、$a$ に依存する部分を関数として取り出し、微分法を用いて増減を調べることで最大値を求める。

解法1

求める体積 $V$ は、次のように立式できる。

$$ V = \pi \int_0^{\frac{5a\pi}{12}} y^2 dx $$

$$ V = \pi \int_0^{\frac{5a\pi}{12}} \left( \frac{a}{a^2+1} \sin^2 \frac{x}{a} \right)^2 dx $$

$$ V = \pi \left( \frac{a}{a^2+1} \right)^2 \int_0^{\frac{5a\pi}{12}} \sin^4 \frac{x}{a} dx $$

ここで、$t = \frac{x}{a}$ とおくと、$dx = a dt$ であり、積分区間は $x: 0 \to \frac{5a\pi}{12}$ のとき $t: 0 \to \frac{5\pi}{12}$ となる。

これを代入して整理する。

$$ \begin{aligned} V &= \pi \left( \frac{a}{a^2+1} \right)^2 \int_0^{\frac{5\pi}{12}} \sin^4 t \cdot a dt \\ &= \pi \frac{a^3}{(a^2+1)^2} \int_0^{\frac{5\pi}{12}} \sin^4 t dt \end{aligned} $$

定積分 $\int_0^{\frac{5\pi}{12}} \sin^4 t dt$ を計算する。半角の公式を用いて次数を下げる。

$$ \begin{aligned} \sin^4 t &= \left( \sin^2 t \right)^2 \\ &= \left( \frac{1 - \cos 2t}{2} \right)^2 \\ &= \frac{1 - 2\cos 2t + \cos^2 2t}{4} \\ &= \frac{1}{4} \left( 1 - 2\cos 2t + \frac{1 + \cos 4t}{2} \right) \\ &= \frac{3 - 4\cos 2t + \cos 4t}{8} \end{aligned} $$

これを用いて定積分を計算する。

$$ \begin{aligned} \int_0^{\frac{5\pi}{12}} \sin^4 t dt &= \frac{1}{8} \int_0^{\frac{5\pi}{12}} (3 - 4\cos 2t + \cos 4t) dt \\ &= \frac{1}{8} \left[ 3t - 2\sin 2t + \frac{1}{4}\sin 4t \right]_0^{\frac{5\pi}{12}} \end{aligned} $$

$t = \frac{5\pi}{12}$ を代入したときの各項の値を求める。

$$ 3 \cdot \frac{5\pi}{12} = \frac{5\pi}{4} $$

$$ -2 \sin \left( 2 \cdot \frac{5\pi}{12} \right) = -2 \sin \frac{5\pi}{6} = -2 \cdot \frac{1}{2} = -1 $$

$$ \frac{1}{4} \sin \left( 4 \cdot \frac{5\pi}{12} \right) = \frac{1}{4} \sin \frac{5\pi}{3} = \frac{1}{4} \cdot \left( -\frac{\sqrt{3}}{2} \right) = -\frac{\sqrt{3}}{8} $$

したがって、定積分の値は次のようになる。

$$ \begin{aligned} \int_0^{\frac{5\pi}{12}} \sin^4 t dt &= \frac{1}{8} \left( \frac{5\pi}{4} - 1 - \frac{\sqrt{3}}{8} \right) \\ &= \frac{10\pi - 8 - \sqrt{3}}{64} \end{aligned} $$

これを $V$ の式に代入する。

$$ V = \frac{(10\pi - 8 - \sqrt{3})\pi}{64} \cdot \frac{a^3}{(a^2+1)^2} $$

次に、$a > 0$ における $V$ の最大値を求める。定数部分を除いた関数を $f(a) = \frac{a^3}{(a^2+1)^2}$ とおき、これを微分する。

$$ \begin{aligned} f'(a) &= \frac{3a^2(a^2+1)^2 - a^3 \cdot 2(a^2+1) \cdot 2a}{(a^2+1)^4} \\ &= \frac{a^2(a^2+1) \{ 3(a^2+1) - 4a^2 \}}{(a^2+1)^4} \\ &= \frac{a^2(3 - a^2)}{(a^2+1)^3} \end{aligned} $$

$a > 0$ において $f'(a) = 0$ となるのは、$a = \sqrt{3}$ のときである。$a > 0$ における $f(a)$ の増減表は次のようになる。

$a$	$(0)$	$\cdots$	$\sqrt{3}$	$\cdots$
$f'(a)$		$+$	$0$	$-$
$f(a)$		$\nearrow$	極大かつ最大	$\searrow$

増減表より、$f(a)$ は $a = \sqrt{3}$ のとき最大値をとる。その値は以下の通りである。

$$ f(\sqrt{3}) = \frac{(\sqrt{3})^3}{( (\sqrt{3})^2 + 1 )^2} = \frac{3\sqrt{3}}{(3+1)^2} = \frac{3\sqrt{3}}{16} $$

したがって、$V$ の最大値は次のようになる。

$$ V_{\text{max}} = \frac{(10\pi - 8 - \sqrt{3})\pi}{64} \cdot \frac{3\sqrt{3}}{16} = \frac{3\sqrt{3}(10\pi - 8 - \sqrt{3})\pi}{1024} $$

解説

三角関数の偶数乗の定積分において、半角の公式を繰り返し適用して次数を下げていくのは典型的な処理である。また、積分区間に変数 $a$ が含まれている場合、置換積分を行って積分区間を定数化することで、$a$ の関数としての見通しが格段に良くなる。計算ミスを防ぐためにも、早い段階で定数部分と変数部分を分離する工夫が有効である。