東北大学 1984年 理系 第3問 解説

方針・初手

条件 $2\alpha+\beta=\dfrac{\pi}{4}$ から、$\beta$ を $\dfrac{\pi}{4}-2\alpha$ とみて $\tan\beta$ を $\tan\alpha$ で表せばよい。

また、$\alpha,\beta>0$ より

$$ 0<2\alpha<\frac{\pi}{4} $$

であるから、

$$ 0<\alpha<\frac{\pi}{8} $$

が成り立つ。この評価は、(2) で整数条件を調べる際に効いてくる。

解法1

$\tan\alpha=\dfrac{1}{m}$ とおくと、

$$ \tan 2\alpha =\frac{2\tan\alpha}{1-\tan^2\alpha} =\frac{2\cdot \frac{1}{m}}{1-\frac{1}{m^2}} =\frac{2m}{m^2-1} $$

である。

ここで

$$ \beta=\frac{\pi}{4}-2\alpha $$

より、

$$ \tan\beta=\tan\left(\frac{\pi}{4}-2\alpha\right) =\frac{1-\tan 2\alpha}{1+\tan 2\alpha} $$

となる。したがって

$$ \frac{1}{n} =\frac{1-\frac{2m}{m^2-1}}{1+\frac{2m}{m^2-1}} =\frac{m^2-2m-1}{m^2+2m-1} $$

ゆえに

$$ n=\frac{m^2+2m-1}{m^2-2m-1} $$

である。これが (1) の答えである。

次に (2) を考える。

先に見たように $0<\alpha<\dfrac{\pi}{8}$ であるから、

$$ \tan\alpha<\tan\frac{\pi}{8}=\sqrt{2}-1 $$

である。$\tan\alpha=\dfrac{1}{m}$ より

$$ \frac{1}{m}<\sqrt{2}-1 $$

すなわち

$$ m>\frac{1}{\sqrt{2}-1}=\sqrt{2}+1 $$

となる。$m$ は整数だから

$$ m\ge 3 $$

である。

ここで

$$ n=\frac{m^2+2m-1}{m^2-2m-1} =1+\frac{4m}{m^2-2m-1} $$

と変形できる。$n$ が整数であるためには、

$$ \frac{4m}{m^2-2m-1} $$

も整数でなければならない。

さらに、$m\ge 7$ ならば

$$ m^2-2m-1>4m $$

が成り立つ。実際、

$$ m^2-2m-1-4m=m^2-6m-1>0 \qquad (m\ge 7) $$

である。このとき

$$ 0<\frac{4m}{m^2-2m-1}<1 $$

となり、整数にはなりえない。したがって調べるべきは

$$ m=3,4,5,6 $$

のみである。

(i) $m=3$ のとき

$$ n=\frac{9+6-1}{9-6-1}=\frac{14}{2}=7 $$

(ii) $m=4$ のとき

$$ n=\frac{16+8-1}{16-8-1}=\frac{23}{7} $$

で整数でない。

(iii) $m=5$ のとき

$$ n=\frac{25+10-1}{25-10-1}=\frac{34}{14}=\frac{17}{7} $$

で整数でない。

(iv) $m=6$ のとき

$$ n=\frac{36+12-1}{36-12-1}=\frac{47}{23} $$

で整数でない。

以上より、$m,n$ がともに整数となるのは

$$ m=3,\quad n=7 $$

のみである。

解説

この問題の要点は、角の条件 $2\alpha+\beta=\dfrac{\pi}{4}$ をそのまま使って $\tan(2\alpha)$ と $\tan\left(\dfrac{\pi}{4}-2\alpha\right)$ を処理することである。

特に (2) では、式をただ因数分解しようとするよりも、

$$ n=1+\frac{4m}{m^2-2m-1} $$

と直して「整数になるには何が必要か」を見るのが有効である。また、$\alpha<\dfrac{\pi}{8}$ から $m\ge 3$ を先に押さえると、候補がかなり絞られる。

答え

$$ \text{(1)}\quad n=\frac{m^2+2m-1}{m^2-2m-1} $$

$$ \text{(2)}\quad m=3,\quad n=7 $$