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東北大学 1984年理系第4問解説

方針・初手

接点の $x$ 座標を $t$ とおいて接線の式を作り，それが原点を通る条件を課す。

(2) では，(1) で求めた接点 $A$ における接線と円の半径 $AP$ が垂直であること，さらに円が $x$ 軸に接することから中心 $P$ を決める。そのうえで，求める面積を「曲線と弦で囲まれる部分」から「円弧と弦で囲まれる円弧部分」を引く形で処理する。

解法1

曲線を

$$ y=\sqrt3 e\log x $$

とする。

(1) 原点から引いた接線

曲線上の点の $x$ 座標を $t,(>0)$ とすると，接点は

$$ \left(t,\sqrt3 e\log t\right) $$

である。

微分すると

$$ y'=\frac{\sqrt3 e}{x} $$

より，$x=t$ における接線の傾きは $\dfrac{\sqrt3 e}{t}$ である。したがって接線の式は

$$ y-\sqrt3 e\log t=\frac{\sqrt3 e}{t}(x-t) $$

である。

これが原点 $(0,0)$ を通るので，

$$ 0-\sqrt3 e\log t=\frac{\sqrt3 e}{t}(0-t) $$

すなわち

$$ -\sqrt3 e\log t=-\sqrt3 e $$

であり，

$$ \log t=1 $$

となる。よって

$$ t=e $$

である。

したがって接点 $A$ は

$$ A=(e,\sqrt3 e) $$

であり，このときの傾きは

$$ \frac{\sqrt3 e}{e}=\sqrt3 $$

であるから，求める接線は

$$ y=\sqrt3 x $$

である。

(2) 面積

まず円の中心を $P$ とする。円は $A$ で曲線と共通の接線をもつので，半径 $AP$ は接線 $y=\sqrt3 x$ に垂直である。したがって $AP$ の方向ベクトルは $(\sqrt3,-1)$ とおける。

そこで

$$ P=A+t(\sqrt3,-1) $$

とおくと，

$$ P=\left(e+\sqrt3 t,\ \sqrt3 e-t\right) $$

となる。

一方，円は $x$ 軸と接するから，中心の $y$ 座標がそのまま半径である。半径 $AP$ の長さは

$$ |AP|=\sqrt{(\sqrt3 t)^2+(-t)^2}=2t $$

であるから，

$$ \sqrt3 e-t=2t $$

を満たす。よって

$$ t=\frac{e}{\sqrt3} $$

であり，

$$ P=\left(2e,\frac{2e}{\sqrt3}\right) $$

となる。

したがって半径は

$$ r=\frac{2e}{\sqrt3} $$

であり，$x$ 軸との接点 $B$ は

$$ B=(2e,0) $$

である。

次に，円弧 $AB$ に対する中心角を求める。

$$ \overrightarrow{PA}=\left(-e,\frac{e}{\sqrt3}\right),\qquad \overrightarrow{PB}=\left(0,-\frac{2e}{\sqrt3}\right) $$

より，

$$ \overrightarrow{PA}\cdot\overrightarrow{PB} =========================================== # -e\cdot 0+\frac{e}{\sqrt3}\left(-\frac{2e}{\sqrt3}\right) -\frac{2e^2}{3} $$

また，

$$ |\overrightarrow{PA}|=|\overrightarrow{PB}|=\frac{2e}{\sqrt3} $$

であるから，

$$ \cos\angle APB ============== # \frac{-\frac{2e^2}{3}}{\left(\frac{2e}{\sqrt3}\right)^2} -\frac12 $$

となる。よって

$$ \angle APB=\frac{2\pi}{3} $$

である。

ここで，曲線 $C$ と $x$ 軸の交点を $D$ とすると，

$$ \sqrt3 e\log x=0 $$

より

$$ D=(1,0) $$

である。また，$A$ から $x$ 軸に下ろした足を $E=(e,0)$ とする。

求める図形の面積は，

曲線 $DA$，弦 $AB$，$x$ 軸で囲まれる面積
から，弦 $AB$ と円弧 $AB$ で囲まれる円弧部分の面積

を引けばよい。

まず，曲線 $DA$，弦 $AB$，$x$ 軸で囲まれる面積は

$$ \int_1^e \sqrt3 e\log x,dx+\triangle AEB $$

である。

積分は

$$ \int \log x,dx=x\log x-x $$

を用いて，

$$ \int_1^e \sqrt3 e\log x,dx ========================== # \sqrt3 e\left[x\log x-x\right]_1^e \sqrt3 e $$

となる。

また，

$$ \triangle AEB=\frac12\cdot EB\cdot AE ===================================== # \frac12\cdot e\cdot \sqrt3 e \frac{\sqrt3}{2}e^2 $$

である。

次に，弦 $AB$ と円弧 $AB$ で囲まれる円弧部分の面積は

$$ \text{扇形 }APB-\triangle APB $$

である。

扇形 $APB$ の面積は

$$ \frac12 r^2\cdot \frac{2\pi}{3} =============================== # \frac12\left(\frac{2e}{\sqrt3}\right)^2\frac{2\pi}{3} \frac{4\pi}{9}e^2 $$

三角形 $APB$ の面積は

$$ \frac12 r^2\sin\frac{2\pi}{3} ============================= # \frac12\left(\frac{2e}{\sqrt3}\right)^2\cdot \frac{\sqrt3}{2} \frac{\sqrt3}{3}e^2 $$

である。

したがって円弧部分の面積は

$$ \frac{4\pi}{9}e^2-\frac{\sqrt3}{3}e^2 $$

となる。

以上より，求める面積 $S$ は

$$ \begin{aligned} S &= \left(\sqrt3 e+\frac{\sqrt3}{2}e^2\right) ----------------------------------------- \left(\frac{4\pi}{9}e^2-\frac{\sqrt3}{3}e^2\right) \ &= \sqrt3 e+\left(\frac{\sqrt3}{2}+\frac{\sqrt3}{3}-\frac{4\pi}{9}\right)e^2 \ &= \sqrt3 e+\left(\frac{5\sqrt3}{6}-\frac{4\pi}{9}\right)e^2 \end{aligned} $$

である。