東北大学 1985年 理系 第4問 解説

方針・初手

1回の移動で、点は $-1$ または $+2$ だけ動く。そこで、8回のうち負の方向に動いた回数を $X$ とおくと、点の位置は $X$ で表せる。

負の方向に動くのは $1,4$ が出たときであるから、その確率は $\dfrac13$ である。したがって $X$ は二項分布に従い、

$$ X \sim B\left(8,\frac13\right) $$

である。

このとき、8回後の位置を $Y$ とすると、

$$ Y=-X+2(8-X)=16-3X $$

となる。まずこの分布を整理し、それを使って範囲と平均値を求める。

解法1

8回のうち負の方向に動いた回数を $X$ とすると、$X=k$ のとき位置 $Y$ は

$$ Y=16-3k $$

である。よって取りうる位置は

$$ 16,13,10,7,4,1,-2,-5,-8 $$

であり、それぞれの確率は

$$ P(X=k)={}_{8}\mathrm{C}_{k}\left(\frac13\right)^k\left(\frac23\right)^{8-k} $$

で与えられる。

実際に並べると、位置と確率は次のようになる。

$$ \begin{array}{c|ccccccccc} Y & 16 & 13 & 10 & 7 & 4 & 1 & -2 & -5 & -8 \\ \hline P & \frac{256}{6561} & \frac{1024}{6561} & \frac{1792}{6561} & \frac{1792}{6561} & \frac{1120}{6561} & \frac{448}{6561} & \frac{112}{6561} & \frac{16}{6561} & \frac{1}{6561} \end{array} $$

（1） $0.94$ 以上の確率で点が存在する最小の範囲

点の位置はすべて3ずつ離れている。したがって、長さが $12$ 未満の範囲には高々4個の候補しか入らない。

そこで、確率の大きいものから4個を集めても $0.94$ に届くかを調べる。最大になるのは

$$ 10,\ 7,\ 4,\ 13 $$

を含むときで、その確率の和は

$$ \frac{1792+1792+1120+1024}{6561} ================================ \frac{5728}{6561} \approx 0.873 $$

である。これは $0.94$ 未満である。よって、長さが $12$ 未満の範囲では条件を満たせない。

次に、長さ $12$ の範囲なら候補を5個含められる。そのうち確率の和が最大になるのは

$$ 1,4,7,10,13 $$

を含む範囲であり、その確率の和は

$$ \frac{448+1120+1792+1792+1024}{6561} ==================================== \frac{6176}{6561} \approx 0.9413 $$

となる。これは $0.94$ 以上である。

したがって、求める最小の範囲は

$$ [1,13] $$

である。

（2） 8回サイコロを投げたときの位置の平均値

1回の移動量を $Z$ とすると、

$$ P(Z=-1)=\frac13,\qquad P(Z=2)=\frac23 $$

であるから、1回の移動量の期待値は

$$ E(Z)=(-1)\cdot \frac13+2\cdot \frac23 ===================================== # -\frac13+\frac43 1 $$

である。

8回後の位置はこれを8回足したものであるから、その期待値は

$$ 8\times 1=8 $$

である。

解説

この問題の要点は、8回の移動をそのまま追うのではなく、「負の方向に動いた回数」にまとめることである。すると位置が $16-3X$ と一次式で表せるため、二項分布の問題に直る。

（1） では「最小の範囲」であるから、確率の大きい位置をできるだけ密に集める必要がある。位置は3刻みでしか現れないので、範囲の長さと含められる候補数の関係を押さえることが重要である。

（2） は分布を全部使わなくても、1回あたりの期待値を求めて8倍すればよい。期待値の線形性を使う典型問題である。

答え

$$ \text{(1)}\ [1,13] $$

$$ \text{(2)}\ 8 $$