東北大学 1986年 理系 第6問 解説

方針・初手

完全な商品とは、選ばれた $A$ が3個、$B$ が2個、$C$ が1個のすべてについて不良品を含まない商品である。

したがって (1) では、各部品が良品である確率を掛け合わせればよい。

(2) では、完全な商品数を二項分布で表し、標本数が十分大きいので正規分布で近似して両側検定を行う。

解法1

(1)

$A$ が良品である確率は

$$ 1-\frac{1}{16}=\frac{15}{16} $$

であり、$B$ が良品である確率は

$$ 1-\frac{1}{9}=\frac{8}{9} $$

であり、$C$ が良品である確率は

$$ 1-\frac{1}{25}=\frac{24}{25} $$

である。

よって、1個の商品が完全な商品である確率 $p$ は

$$ p=\left(\frac{15}{16}\right)^3\left(\frac{8}{9}\right)^2\left(\frac{24}{25}\right) $$

となる。これを計算すると、

$$ \begin{aligned} p&=\frac{3375}{4096}\cdot\frac{64}{81}\cdot\frac{24}{25} \ &=\frac{3375}{4096}\cdot\frac{512}{675} \ &=\frac{5}{8} \end{aligned} $$

したがって、完全な商品である確率は

$$ \frac{5}{8} $$

である。

(2)

帰無仮説 $H_0$ を「(1) の仮説は正しい」とする。このとき、1個の商品が完全な商品である確率は

$$ p=\frac{5}{8} $$

である。

960個の商品を無作為に抽出したときの完全な商品数を $X$ とすると、$H_0$ のもとで

$$ X\sim B\left(960,\frac{5}{8}\right) $$

である。

したがって、平均と分散は

$$ E(X)=960\cdot\frac{5}{8}=600 $$

$$ V(X)=960\cdot\frac{5}{8}\cdot\frac{3}{8}=225 $$

となるので、標準偏差は

$$ \sigma=\sqrt{225}=15 $$

である。

ここで

$$ 960\cdot\frac{5}{8}=600,\qquad 960\cdot\frac{3}{8}=360 $$

はいずれも十分大きいから、二項分布を正規分布で近似して

$$ X\approx N(600,15^2) $$

とみなす。

両側検定で有意水準 $5%$ だから、標準正規分布 $N(0,1)$ に対して棄却域は

$$ |Z|>1.96 $$

である。

実際には完全な商品は 640 個であった。二項分布を正規分布で近似するので連続補正をすると、

$$ Z=\frac{639.5-600}{15}=\frac{39.5}{15}\approx 2.63 $$

となる。

これは

$$ 2.63>1.96 $$

を満たすから、観測値は棄却域に入る。したがって、帰無仮説 $H_0$ は棄却される。

ゆえに、(1) の仮説は有意水準 $5%$ で正しいとは判断できない。

解説

この問題の要点は、まず完全な商品の確率を正しく求めることである。各部品が独立に良品であるとみなせるので、良品率をそのまま掛け合わせればよい。ここで計算がきれいに

$$ \frac{5}{8} $$

になる。

検定では、完全な商品数を二項分布で表し、その平均と分散を求めてから正規近似を使う流れが基本である。標本数が大きいので、標準化して $1.96$ と比較すればよい。

詰まりやすい点は、二項分布を正規分布で近似するときに連続補正を入れる点と、両側検定なので片側だけでなく左右両方を考える点である。

答え

(1) 完全な商品である確率は

$$ \frac{5}{8} $$

である。

(2) 帰無仮説「(1) の仮説は正しい」は有意水準 $5%$ で棄却される。したがって、その仮説を正しいと判断してよいとはいえない。