東北大学 1983年 理系 第4問 解説

方針・初手

2枚のカードの選び方はすべて等確率であり，その総数は

$$ {}_{n}\mathrm{C}_{2} $$

通りである。

したがって，$X$ や $Y$ がある値をとるときに対応する組の数を数えれば，確率分布がそのまま求まる。 その後，定義に従って期待値を計算する。

解法1

まず，全事象は「$1,2,\dots,n$ から異なる2個を選ぶ」ことであるから，場合の数は

$$ {}_{n}\mathrm{C}_{2}=\frac{n(n-1)}{2} $$

である。

$X$ の確率分布

$X=k$ となるのは，小さい方が $k$ であるから，もう一方は $k+1,k+2,\dots,n$ のいずれかである。

したがって，対応する組の数は

$$ n-k $$

通りである。よって，$k=1,2,\dots,n-1$ に対して

$$ P(X=k)=\frac{n-k}{{}_{n}\mathrm{C}_{2}} =\frac{2(n-k)}{n(n-1)} $$

となる。

したがって，$X$ の確率分布は

$$ P(X=k)= \begin{cases} \dfrac{2(n-k)}{n(n-1)} & (k=1,2,\dots,n-1),\\[1mm] 0 & \text{それ以外} \end{cases} $$

である。

$Y$ の確率分布

$Y=\ell$ となるのは，大きい方が $\ell$ であるから，もう一方は $1,2,\dots,\ell-1$ のいずれかである。

したがって，対応する組の数は

$$ \ell-1 $$

通りである。よって，$\ell=2,3,\dots,n$ に対して

$$ P(Y=\ell)=\frac{\ell-1}{{}_{n}\mathrm{C}_{2}} =\frac{2(\ell-1)}{n(n-1)} $$

となる。

したがって，$Y$ の確率分布は

$$ P(Y=\ell)= \begin{cases} \dfrac{2(\ell-1)}{n(n-1)} & (\ell=2,3,\dots,n),\\[1mm] 0 & \text{それ以外} \end{cases} $$

である。

$X$ の期待値

定義より

$$ E[X]=\sum_{k=1}^{n-1} k,P(X=k) =\sum_{k=1}^{n-1} k\cdot \frac{2(n-k)}{n(n-1)} $$

である。よって

$$ E[X]=\frac{2}{n(n-1)}\sum_{k=1}^{n-1}k(n-k) $$

となる。

ここで

$$ \sum_{k=1}^{n-1}k(n-k) =n\sum_{k=1}^{n-1}k-\sum_{k=1}^{n-1}k^2 $$

であり，

$$ \sum_{k=1}^{n-1}k=\frac{n(n-1)}{2},\qquad \sum_{k=1}^{n-1}k^2=\frac{(n-1)n(2n-1)}{6} $$

を用いると，

$$ \begin{aligned} \sum_{k=1}^{n-1}k(n-k) &=n\cdot \frac{n(n-1)}{2}-\frac{(n-1)n(2n-1)}{6} \\ &=\frac{(n-1)n(n+1)}{6} \end{aligned} $$

である。したがって

$$ E[X] =\frac{2}{n(n-1)}\cdot \frac{(n-1)n(n+1)}{6} =\frac{n+1}{3} $$

となる。

$Y$ の期待値

同様に

$$ E[Y]=\sum_{\ell=2}^{n} \ell,P(Y=\ell) =\sum_{\ell=2}^{n}\ell\cdot \frac{2(\ell-1)}{n(n-1)} $$

であるから，

$$ E[Y]=\frac{2}{n(n-1)}\sum_{\ell=2}^{n}\ell(\ell-1) $$

となる。

ここで，$\ell=1$ の項は $0$ なので

$$ \sum_{\ell=2}^{n}\ell(\ell-1)=\sum_{\ell=1}^{n}\ell(\ell-1) =\sum_{\ell=1}^{n}\ell^2-\sum_{\ell=1}^{n}\ell $$

とできる。よって

$$ \sum_{\ell=1}^{n}\ell^2=\frac{n(n+1)(2n+1)}{6},\qquad \sum_{\ell=1}^{n}\ell=\frac{n(n+1)}{2} $$

を用いると，

$$ \begin{aligned} \sum_{\ell=1}^{n}\ell(\ell-1) &=\frac{n(n+1)(2n+1)}{6}-\frac{n(n+1)}{2} \\ &=\frac{n(n+1)(n-1)}{3} \end{aligned} $$

である。したがって

$$ E[Y] =\frac{2}{n(n-1)}\cdot \frac{n(n+1)(n-1)}{3} =\frac{2(n+1)}{3} $$

となる。

解説

この問題の本質は，「$X$ がある値をとる」ときと「$Y$ がある値をとる」ときに対応する2枚の組を正確に数えることである。

$X=k$ なら相手は $k+1$ 以上から選ぶので $n-k$ 通り，$Y=\ell$ なら相手は $\ell-1$ 以下から選ぶので $\ell-1$ 通りとなる。 この数え上げができれば，あとは全体の組数 ${}_{n}\mathrm{C}_{2}$ で割るだけである。

また，期待値は分布が分かれば定義通りに計算できる。なお，$X+Y$ は取り出した2枚の数の和であり，その平均は $n+1$ なので，

$$ E[X]+E[Y]=n+1 $$

となることも確かめられる。

答え

$$ P(X=k)= \begin{cases} \dfrac{2(n-k)}{n(n-1)} & (k=1,2,\dots,n-1),\\[1mm] 0 & \text{それ以外} \end{cases} $$

$$ P(Y=\ell)= \begin{cases} \dfrac{2(\ell-1)}{n(n-1)} & (\ell=2,3,\dots,n),\\[1mm] 0 & \text{それ以外} \end{cases} $$

$$ E[X]=\frac{n+1}{3},\qquad E[Y]=\frac{2(n+1)}{3} $$