東北大学 1986年 理系 第5問 解説

方針・初手

$f(x)=P(x)e^{2x}$ とおき、$P(x)=4x^3+ax^2+bx+c$ とする。 指数関数 $e^{2x}$ は常に正であるから、$f'(x)=0$ となる条件は $P'(x)+2P(x)=0$ によって決まる。

$x=-1,0,1$ で極値をもつためには、$f'(x)$ がそれらを零点にもつ必要がある。$f'(x)$ の多項式部分は3次式であるから、これを $x(x-1)(x+1)$ に比例するとおいて係数比較すれば $a,b,c$ が定まる。

面積については、まず $[-1,1]$ で $f(x)$ の符号を調べる。そのうえで定積分に直す。

解法1

$P(x)=4x^3+ax^2+bx+c$ とおくと、

$$ f(x)=P(x)e^{2x} $$

であるから、

$$ f'(x)={P'(x)+2P(x)}e^{2x} $$

となる。

ここで

$$ P'(x)=12x^2+2ax+b $$

より、

$$ P'(x)+2P(x) =8x^3+(12+2a)x^2+(2a+2b)x+(b+2c) $$

である。

$f(x)$ が $x=-1,0,1$ で極値をもつためには、$f'(x)$ が $x=-1,0,1$ を零点にもてばよい。 $P'(x)+2P(x)$ は3次式で、最高次係数は $8$ であるから、

$$ P'(x)+2P(x)=8x(x-1)(x+1)=8x^3-8x $$

とおける。

したがって係数比較により、

$$ 12+2a=0,\qquad 2a+2b=-8,\qquad b+2c=0 $$

を得る。これを解くと、

$$ a=-6,\qquad b=2,\qquad c=-1 $$

である。

実際、このとき

$$ f'(x)=8x(x-1)(x+1)e^{2x} $$

となる。$e^{2x}>0$ であり、$x=-1,0,1$ はいずれも単純根であるから、$f'(x)$ の符号は各点で変化する。よって確かに $x=-1,0,1$ で極値をもつ。

次に、$a=-6,\ b=2,\ c=-1$ を用いると、

$$ f(x)=(4x^3-6x^2+2x-1)e^{2x} $$

である。

また、

$$ f'(-1)=f'(0)=f'(1)=0 $$

であり、符号変化から $x=-1,1$ で極小、$x=0$ で極大である。 そこで各点での値を調べると、

$$ f(-1)=(-13)e^{-2}<0,\qquad f(0)=-1<0,\qquad f(1)=-e^2<0 $$

となる。したがって区間 $[-1,1]$ では最大値でも負であるから、

$$ f(x)<0\qquad (-1\leqq x\leqq 1) $$

である。

よって、求める面積 $S$ は

$$ S=-\int_{-1}^{1} f(x),dx $$

で与えられる。

ここで

$$ \int (4x^3-6x^2+2x-1)e^{2x},dx =(2x^3-6x^2+7x-4)e^{2x} $$

である。実際、

$$ \frac{d}{dx}\left{(2x^3-6x^2+7x-4)e^{2x}\right} =(4x^3-6x^2+2x-1)e^{2x} $$

となる。

したがって、

$$ \int_{-1}^{1} f(x),dx =\left[(2x^3-6x^2+7x-4)e^{2x}\right]_{-1}^{1} $$

であり、

$$ (2\cdot 1^3-6\cdot 1^2+7\cdot 1-4)e^2=-e^2, $$

$$ (2\cdot (-1)^3-6\cdot (-1)^2+7\cdot (-1)-4)e^{-2}=-19e^{-2} $$

より、

$$ \int_{-1}^{1} f(x),dx =-e^2+19e^{-2} $$

となる。よって面積は

$$ S=-\left(-e^2+19e^{-2}\right) =e^2-19e^{-2} $$

である。

解説

$f(x)=P(x)e^{2x}$ の形では、微分しても再び $e^{2x}$ を因数にもつので、多項式部分だけを見ればよい。この問題の核心は

$$ f'(x)={P'(x)+2P(x)}e^{2x} $$

として、$P'(x)+2P(x)$ を零点条件から決めることである。

また、面積ではいきなり積分するのではなく、まず $[-1,1]$ で曲線が $x$ 軸の上か下かを確認する必要がある。本問では $x=0$ が極大で、その値が $-1<0$ なので、区間全体で $f(x)<0$ と分かる。この確認を省くと、面積の符号を誤りやすい。

答え

$$ a=-6,\qquad b=2,\qquad c=-1 $$

求める面積は

$$ e^2-\frac{19}{e^2} $$

である。