東北大学 1996年 理系 第1問 解説

方針・初手

まず、$x=a$ で極大値をとるという条件から、$a$ と $p$ の関係を微分して求める。 次に、$P(a,b)$ を原点中心に正の向きに $90^\circ$ 回転した点 $Q$ の座標を出し、$Q$ が曲線 $y=f(x)$ 上にある条件を書けばよい。

解法1

$f(x)=x^3-px$ であるから、

$$ f'(x)=3x^2-p,\qquad f''(x)=6x $$

である。

$x=a$ で極大値をとるので、

$$ f'(a)=0,\qquad f''(a)<0 $$

が成り立つ。したがって、

$$ 3a^2-p=0 $$

より

$$ p=3a^2 $$

であり、さらに

$$ 6a<0 $$

より

$$ a<0 $$

である。

このとき極大値 $b$ は

$$ b=f(a)=a^3-pa=a^3-3a^3=-2a^3 $$

となる。

点 $P(a,b)$ を原点を中心に正の向きに $90^\circ$ 回転すると、座標変換は $(x,y)\mapsto(-y,x)$ であるから、

$$ Q=(-b,a) $$

である。

曲線 $y=f(x)$ が点 $Q$ を通るので、$Q=(-b,a)$ は $y=x^3-px$ を満たす。よって

$$ a=(-b)^3-p(-b)=-b^3+pb $$

である。

ここで $b=-2a^3,\ p=3a^2$ を代入すると、

$$ a=-(-2a^3)^3+3a^2(-2a^3) $$

すなわち

$$ a=8a^9-6a^5 $$

を得る。

$a=0$ なら $p=0$ となるが、このとき $f(x)=x^3$ は極大値をもたないので不適である。したがって $a\neq0$ として両辺を $a$ で割ると、

$$ 1=8a^8-6a^4 $$

となる。ここで $t=a^4$ とおくと、

$$ 8t^2-6t-1=0 $$

である。これを解くと、

$$ t=\frac{6\pm\sqrt{36+32}}{16} =\frac{6\pm2\sqrt{17}}{16} =\frac{3\pm\sqrt{17}}{8} $$

を得る。

$t=a^4\geqq0$ であるから、

$$ a^4=\frac{3+\sqrt{17}}{8} $$

である。よって

$$ a^2=\sqrt{\frac{3+\sqrt{17}}{8}} $$

となり、

$$ p=3a^2=3\sqrt{\frac{3+\sqrt{17}}{8}} $$

を得る。

解説

この問題の要点は、極大値の条件を微分で正確に処理することである。 $x=a$ で極大値をとるという条件から $p=3a^2$ と $a<0$ が出るので、$b$ も $a$ で表せる。

その上で、回転後の点の座標を正しく $( -b,\ a )$ と書けるかが重要である。座標変換を誤ると以後の計算がすべて崩れる。最後は $a$ についての方程式を $a^4$ の二次方程式に落とすのが自然である。

答え

$$ p=3\sqrt{\frac{3+\sqrt{17}}{8}} $$