東北大学 1996年 理系 第3問 解説

方針・初手

$C_n$ はすべて $x$ 軸に接するので，その中心の $y$ 座標は半径 $r_n$ に等しい。したがって，$C_n$ の中心を $(x_n,r_n)$ とおくことができる。

まず，各 $C_n$ が円 $C$ に接する条件から $r_n$ と $x_n$ の関係を求める。ついで，隣り合う $C_{n-1},C_n$ が接する条件を用いて $x_n$ の漸化式を作ればよい。

解法1

円 $C$ の中心は $(0,1)$，半径は $1$ である。

また，$C_n$ は $x$ 軸に接するから，その中心は $(x_n,r_n)$ と書ける。

$C$ に接する条件

$C_n$ は $C$ に外接するので，中心間距離は半径の和に等しい。よって

$$ \sqrt{x_n^2+(r_n-1)^2}=r_n+1 $$

である。両辺を2乗すると

$$ x_n^2+(r_n-1)^2=(r_n+1)^2 $$

$$ x_n^2+r_n^2-2r_n+1=r_n^2+2r_n+1 $$

$$ x_n^2=4r_n $$

したがって

$$ r_n=\frac{x_n^2}{4} $$

を得る。

(i) $r_1$ を $a$ で表す

$C_1$ の中心の $x$ 座標が $a$ であるから，$x_1=a$ である。よって上の関係式より

$$ r_1=\frac{a^2}{4} $$

となる。

(ii) $r_n$ を $a,n$ で表す

隣り合う円 $C_{n-1},C_n$ は外接するから，中心間距離は半径の和に等しい。よって

$$ \sqrt{(x_{n-1}-x_n)^2+(r_{n-1}-r_n)^2}=r_{n-1}+r_n $$

これを2乗すると

$$ (x_{n-1}-x_n)^2+(r_{n-1}-r_n)^2=(r_{n-1}+r_n)^2 $$

したがって

$$ (x_{n-1}-x_n)^2=4r_{n-1}r_n $$

ここで $r_k=\dfrac{x_k^2}{4}$ を代入すると

$$ (x_{n-1}-x_n)^2 =4\cdot \frac{x_{n-1}^2}{4}\cdot \frac{x_n^2}{4} =\frac{x_{n-1}^2x_n^2}{4} $$

$0<x_n<x_{n-1}$ であるから，正の平方根をとって

$$ x_{n-1}-x_n=\frac{x_{n-1}x_n}{2} $$

よって

$$ \frac{1}{x_n}-\frac{1}{x_{n-1}}=\frac{1}{2} $$

となる。したがって，$\left{\dfrac{1}{x_n}\right}$ は等差数列であり，

$$ \frac{1}{x_n} ============= # \frac{1}{x_1}+\frac{n-1}{2} \frac{1}{a}+\frac{n-1}{2} $$

ゆえに

$$ x_n=\frac{1}{\frac{1}{a}+\frac{n-1}{2}} =\frac{2a}{2+a(n-1)} $$

となる。したがって

$$ r_n=\frac{x_n^2}{4} =\frac{1}{4}\left(\frac{2a}{2+a(n-1)}\right)^2 =\frac{a^2}{{2+a(n-1)}^2} $$

である。

解説

この問題の要点は，円が $x$ 軸に接することから中心を $(x_n,r_n)$ と置けることである。これにより，接する条件がそのまま中心間距離の式に落ちる。

まず $C$ との接触から $r_n=\dfrac{x_n^2}{4}$ という基本関係を出し，次に $C_{n-1}$ と $C_n$ の接触から $x_n$ の漸化式

$$ \frac{1}{x_n}-\frac{1}{x_{n-1}}=\frac{1}{2} $$

を得る流れが本質である。半径そのものを直接追うより，いったん中心の $x$ 座標を媒介にすると整理しやすい。

答え

$$ \text{**(i)** }\quad r_1=\frac{a^2}{4} $$

$$ \text{**(ii)** }\quad r_n=\frac{a^2}{{2+a(n-1)}^2} $$