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東北大学 1998年理系第2問解説

方針・初手

トレースの条件から、まず $a+c$ と $ac+b^2$ を求める。

すると $A$ は

$$ A^2+A+E=O $$

を満たすことが分かる。これを用いれば、(1) は因数分解により $A^3=E$ が従い、(2) も $(A+E)^4$ を簡単な形に直せる。

解法1

$A$ のトレースが $-1$ であるから

$$ a+c=-1 $$

である。

また

$$ A= \begin{pmatrix} a & b\ -b & c \end{pmatrix} $$

より

$$ A^2= \begin{pmatrix} a^2-b^2 & ab+bc\ -ab-bc & c^2-b^2 \end{pmatrix} $$

であるから、$A^2$ のトレースが $-1$ であることより

$$ a^2+c^2-2b^2=-1 $$

を得る。

ここで $(a+c)^2=1$ であるから

$$ a^2+2ac+c^2=1 $$

であり、これから $a^2+c^2-2b^2=-1$ を引くと

$$ 2ac+2b^2=2 $$

すなわち

$$ ac+b^2=1 $$

となる。

次に $A^2+A+E$ を計算すると

$$ A^2+A+E ======= \begin{pmatrix} a^2-b^2+a+1 & ab+bc+b\ -ab-bc-b & c^2-b^2+c+1 \end{pmatrix} $$

である。

非対角成分は

$$ ab+bc+b=b(a+c+1)=0, $$

$$ -ab-bc-b=-b(a+c+1)=0 $$

となる。

また対角成分について、$ac+b^2=1$ を用いると

$$ a^2-b^2+a+1 =========== # a^2+a+(1-b^2) # a^2+a+ac a(a+c+1)=0 $$

であり、同様に

$$ c^2-b^2+c+1 =========== # c^2+c+ac c(a+c+1)=0 $$

である。

したがって

$$ A^2+A+E=O $$

が成り立つ。

(1)

上式に左から $A-E$ を掛けると

$$ (A-E)(A^2+A+E)=A^3-E=O $$

となるから

$$ A^3=E $$

である。

(2)

$A^2+A+E=O$ より

$$ A+E=-A^2 $$

であるから

$$ (A+E)^4=(-A^2)^4=A^8 $$

となる。

さらに (1) の $A^3=E$ を用いると

$$ A^8=A^2 $$

である。よって与えられた方程式は

$$ A^2 \begin{pmatrix} x\ y \end{pmatrix} ============= \begin{pmatrix} b\ -a \end{pmatrix} $$

となる。

ここで左から $A$ を掛けると、$A^3=E$ より

$$ \begin{pmatrix} x\ y \end{pmatrix} ============= A \begin{pmatrix} b\ -a \end{pmatrix} $$

である。

実際に計算すると

$$ A \begin{pmatrix} b\ -a \end{pmatrix} ============= \begin{pmatrix} a & b\ -b & c \end{pmatrix} \begin{pmatrix} b\ -a \end{pmatrix} ============= \begin{pmatrix} ab-ab\ -b^2-ac \end{pmatrix} ============= \begin{pmatrix} 0\ -(ac+b^2) \end{pmatrix} ============= \begin{pmatrix} 0\ -1 \end{pmatrix} $$

となる。

したがって

$$ x=0,\quad y=-1 $$

である。