東北大学 1998年 理系 第4問 解説

方針・初手

与えられた条件 $\sin x=a\sin y,\ \cos x=b\cos y$ を二乗して加えると、$\sin^2 x+\cos^2 x=1$ を使って $a,b,y$ の関係式が得られる。これを用いてまず $\tan^2 y$ を求め、その後 $\tan^2 y>0$ であることから $(a,b)$ の取り得る範囲を決める。

解法1

$\sin x=a\sin y,\ \cos x=b\cos y$ より、

$$ a^2\sin^2 y+b^2\cos^2 y=\sin^2 x+\cos^2 x=1 $$

である。

これを整理すると、

$$ (a^2-1)\sin^2 y+(b^2-1)\cos^2 y=0 $$

となる。ここで問題文より $\sin y\neq 0,\ \cos y\neq 0$ であるから、$\cos^2 y$ で割ることができる。よって

$$ (a^2-1)\tan^2 y+(b^2-1)=0 $$

したがって、

$$ \tan^2 y=\frac{1-b^2}{a^2-1}=\frac{b^2-1}{1-a^2} $$

である。これが (1) の答えである。

次に (2) を考える。$y$ について $\sin y\neq 0,\ \cos y\neq 0$ なので、

$$ \tan^2 y>0 $$

である。したがって

$$ \frac{1-b^2}{a^2-1}>0 $$

が必要である。これは

$$ (a^2-1)(b^2-1)<0 $$

と同値である。

よって、点 $(a,b)$ の存在範囲は

(i) $a^2>1,\ b^2<1$

または

(ii) $a^2<1,\ b^2>1$

である。

すなわち、

$$ |a|>1,\ |b|<1 $$

または

$$ |a|<1,\ |b|>1 $$

である。

逆に、この条件を満たせば

$$ t=\frac{1-b^2}{a^2-1}>0 $$

となるから、$\tan^2 y=t$ を満たす $y$ を取ることができる。そのとき

$$ a^2\sin^2 y+b^2\cos^2 y=1 $$

となるので、$\sin x=a\sin y,\ \cos x=b\cos y$ を満たす実数 $x$ も存在する。したがって上の条件は必要十分である。

解説

本問の本質は、$\sin x,\cos x$ が同じ $x$ に属する以上、

$$ \sin^2 x+\cos^2 x=1 $$

を必ず満たす点にある。これにより $a,b$ は独立に動けるのではなく、$y$ を介して強く制約される。

また、

$$ 1=a^2\sin^2 y+b^2\cos^2 y $$

は、$\sin^2 y,\cos^2 y$ がともに正で和が $1$ であることから、$1$ が $a^2$ と $b^2$ の間にあることを意味する。したがって「一方が $1$ より大きく、他方が $1$ より小さい」という形になる。

答え

$$ \tan^2 y=\frac{1-b^2}{a^2-1}=\frac{b^2-1}{1-a^2} $$

また、点 $(a,b)$ の存在範囲は

$$ (a^2-1)(b^2-1)<0 $$

すなわち

$$ |a|>1,\ |b|<1 \quad\text{または}\quad |a|<1,\ |b|>1 $$

である。