東北大学 2000年 理系 第6問 解説

方針・初手

• (1) は与えられた式に具体的な $n$ の値を代入し、実際に計算して小数部分を求める。分母が $5$ であることに着目する。
• (2) は (1) の結果から $\alpha_n$ の小数部分が周期性を持つことを見抜き、$\beta_n$ の値が $n \ge 2$ で十分小さくなることを利用して和の小数部分を特定する。$n=1$ のときの例外的な振る舞いに注意する。
• (3) は (2) で求めた小数部分の規則性を用いて、数列の和を計算する。周期数列の和と等比数列の和に分割して計算すると見通しが良い。

解法1

(1) 与えられた等比数列の一般項は $\alpha_n = \frac{4}{5} \cdot 2^{n-1} = \frac{2^{n+1}}{5}$ である。 $n=1, 2, 3, 4, 5$ を代入して値を計算し、整数部分と小数部分に分ける。

$$ \begin{aligned} \alpha_1 &= \frac{4}{5} = 0 + \frac{4}{5} \\ \alpha_2 &= \frac{8}{5} = 1 + \frac{3}{5} \\ \alpha_3 &= \frac{16}{5} = 3 + \frac{1}{5} \\ \alpha_4 &= \frac{32}{5} = 6 + \frac{2}{5} \\ \alpha_5 &= \frac{64}{5} = 12 + \frac{4}{5} \end{aligned} $$

したがって、$\alpha_n$ の小数部分はそれぞれ $n=1$ のとき $\frac{4}{5}$ $n=2$ のとき $\frac{3}{5}$ $n=3$ のとき $\frac{1}{5}$ $n=4$ のとき $\frac{2}{5}$ $n=5$ のとき $\frac{4}{5}$ である。

(2) $\alpha_n$ の小数部分を $c_n$ とおく。 (1) で見たように、$\alpha_n = \frac{2^{n+1}}{5}$ の分子 $2^{n+1}$ について、$2^4 = 16 \equiv 1 \pmod 5$ であるから、分子を $5$ で割った余りは周期 $4$ で繰り返す。 よって、数列 $\{c_n\}$ は $\frac{4}{5}, \frac{3}{5}, \frac{1}{5}, \frac{2}{5}$ を周期 $4$ として繰り返す数列である。

$a_n = \alpha_n + \beta_n$ であり、$\alpha_n = M_n + c_n$ （$M_n$ は非負整数）とおけるので、

$$ a_n = M_n + c_n + \beta_n $$

ここで、$c_n + \beta_n$ の値の範囲を調べる。 $\beta_n = \frac{1}{5} \left(-\frac{1}{2}\right)^{n-1}$ である。

$n=1$ のとき $c_1 = \frac{4}{5}$、$\beta_1 = \frac{1}{5}$ より $c_1 + \beta_1 = 1$ となる。 よって $a_1 = M_1 + 1$ となり、$a_1$ は整数であるから、その小数部分 $b_1$ は $0$ である。

$n \ge 2$ のとき $|\beta_n| = \frac{1}{5 \cdot 2^{n-1}} \le \frac{1}{10}$ である。 また、$c_n$ は $\frac{1}{5}$ 以上 $\frac{4}{5}$ 以下であるから、

$$ \frac{1}{5} - \frac{1}{10} \le c_n + \beta_n \le \frac{4}{5} + \frac{1}{10} $$

すなわち、

$$ \frac{1}{10} \le c_n + \beta_n \le \frac{9}{10} $$

これより、$0 < c_n + \beta_n < 1$ が成り立つため、$n \ge 2$ において $a_n$ の小数部分 $b_n$ は $c_n + \beta_n$ そのものである。

以上より、$k$ を自然数として、求める小数部分 $b_n$ は次のように表される。

$n=1$ のとき

$$ b_1 = 0 $$

$n \ge 2$ かつ $n=4k-3$ のとき

$$ b_n = \frac{4}{5} + \frac{1}{5} \left(-\frac{1}{2}\right)^{n-1} $$

$n=4k-2$ のとき

$$ b_n = \frac{3}{5} + \frac{1}{5} \left(-\frac{1}{2}\right)^{n-1} $$

$n=4k-1$ のとき

$$ b_n = \frac{1}{5} + \frac{1}{5} \left(-\frac{1}{2}\right)^{n-1} $$

$n=4k$ のとき

$$ b_n = \frac{2}{5} + \frac{1}{5} \left(-\frac{1}{2}\right)^{n-1} $$

(3) 求める和を $S = \sum_{n=1}^{100} b_n$ とする。 (2) の考察より、$b_1 = 0$ であり、$n \ge 2$ では $b_n = c_n + \beta_n$ であるから、

$$ S = b_1 + \sum_{n=2}^{100} (c_n + \beta_n) = 0 + \sum_{n=2}^{100} (c_n + \beta_n) $$

ここで、$c_1 + \beta_1 = 1$ であることを用いると、

$$ S = (c_1 + \beta_1 - 1) + \sum_{n=2}^{100} (c_n + \beta_n) = \sum_{n=1}^{100} (c_n + \beta_n) - 1 $$

シグマを分割してそれぞれ計算する。

$$ \sum_{n=1}^{100} (c_n + \beta_n) = \sum_{n=1}^{100} c_n + \sum_{n=1}^{100} \beta_n $$

数列 $\{c_n\}$ は周期 $4$ であり、 $1$ 周期分の和は

$$ \frac{4}{5} + \frac{3}{5} + \frac{1}{5} + \frac{2}{5} = 2 $$

$100$ 項にはちょうど $25$ 周期が含まれるので、

$$ \sum_{n=1}^{100} c_n = 2 \times 25 = 50 $$

次に、数列 $\{\beta_n\}$ の和は、初項 $\frac{1}{5}$、公比 $-\frac{1}{2}$、項数 $100$ の等比数列の和であるから、

$$ \sum_{n=1}^{100} \beta_n = \frac{\frac{1}{5} \left\{1 - \left(-\frac{1}{2}\right)^{100}\right\}}{1 - \left(-\frac{1}{2}\right)} = \frac{\frac{1}{5} \left(1 - \frac{1}{2^{100}}\right)}{\frac{3}{2}} = \frac{2}{15} \left(1 - \frac{1}{2^{100}}\right) $$

よって、$S$ は次のように求まる。

$$ S = 50 + \frac{2}{15} \left(1 - \frac{1}{2^{100}}\right) - 1 = 49 + \frac{2}{15} - \frac{2}{15 \cdot 2^{100}} $$

ここで、 $\frac{2}{15} - \frac{2}{15 \cdot 2^{100}} > 0$ であり、明らかに $\frac{2}{15} < 1$ であるため、

$$ 0 < \frac{2}{15} - \frac{2}{15 \cdot 2^{100}} < 1 $$

したがって、$49 < S < 50$ となり、$S$ の整数部分は $49$ である。

解説

• (2) において、実数 $x$ の小数部分が $x - \lfloor x \rfloor$ で定義されること、および $a_n$ を「整数部分」と「$0$ 以上 $1$ 未満の小数部分」に切り分けるという発想が重要である。
• 等比数列の和と周期数列の和を分離して計算する (3) の工夫は、計算量を大幅に減らし記述を簡略化する有用な手法である。
• $n=1$ のときに $a_1$ が整数となり、小数部分が $0$ になるという例外に気づき、正確に処理できるかが完答の鍵となる。

答え

(1) $n=1$ のとき $\frac{4}{5}$ $n=2$ のとき $\frac{3}{5}$ $n=3$ のとき $\frac{1}{5}$ $n=4$ のとき $\frac{2}{5}$ $n=5$ のとき $\frac{4}{5}$

(2) $k$ を自然数として、 $n=1$ のとき $0$ $n \ge 2$ かつ $n=4k-3$ のとき $\frac{4}{5} + \frac{1}{5} \left(-\frac{1}{2}\right)^{n-1}$ $n=4k-2$ のとき $\frac{3}{5} + \frac{1}{5} \left(-\frac{1}{2}\right)^{n-1}$ $n=4k-1$ のとき $\frac{1}{5} + \frac{1}{5} \left(-\frac{1}{2}\right)^{n-1}$ $n=4k$ のとき $\frac{2}{5} + \frac{1}{5} \left(-\frac{1}{2}\right)^{n-1}$

(3) $49$