東北大学 2005年 理系 第1問 解説

方針・初手

まず、与えられた (i)、(ii) から $\vec a,\vec b$ を $\vec e$ で表す。すると $\vec a,\vec b$ はともに $\vec e$ と平行になる。

そのうえで、$\vec e$ 方向を1つの座標軸とみなし、$\vec x$ を $\vec e$ 方向成分とそれに垂直な成分に分けて表す。 条件「$\vec x-\vec a$ と $\vec x-\vec b$ が垂直」「長さの比が $t:1-t$」を式に直せば、$\vec x\cdot \vec e$ が求まる。

解法1

(i)、(ii) はそれぞれ

$$ (1-t)\vec a+t\vec b=\vec e $$

$$ (1-t)(\vec a+\vec e)=t(\vec b+\vec e) $$

である。

後者を整理すると

$$ (1-t)\vec a-t\vec b=(2t-1)\vec e $$

となる。

これと (i) を加えると

$$ 2(1-t)\vec a=2t\vec e $$

より

$$ \vec a=\frac{t}{1-t}\vec e $$

を得る。

また、(i) からこれを引くと

$$ 2t\vec b=2(1-t)\vec e $$

より

$$ \vec b=\frac{1-t}{t}\vec e $$

となる。

したがって $\vec a,\vec b$ はともに $\vec e$ と平行である。

ここで、$\vec e$ に垂直な単位ベクトルを $\vec n$ とし、

$$ \vec x=u\vec e+v\vec n $$

とおく。ただし $\vec e\cdot \vec n=0,\ \vec e\cdot \vec e=\vec n\cdot \vec n=1$ である。

さらに

$$ \alpha=\frac{t}{1-t},\qquad \beta=\frac{1-t}{t} $$

とおけば

$$ \vec a=\alpha \vec e,\qquad \vec b=\beta \vec e $$

であるから、

$$ \vec x-\vec a=(u-\alpha)\vec e+v\vec n,\qquad \vec x-\vec b=(u-\beta)\vec e+v\vec n $$

となる。

まず、$\vec x-\vec a$ と $\vec x-\vec b$ が垂直であることより

$$ \bigl((u-\alpha)\vec e+v\vec n\bigr)\cdot \bigl((u-\beta)\vec e+v\vec n\bigr)=0 $$

すなわち

$$ (u-\alpha)(u-\beta)+v^2=0 $$

である。

次に、長さの比が $t:1-t$ であるから

$$ \frac{|\vec x-\vec a|}{|\vec x-\vec b|}=\frac{t}{1-t} $$

よって

$$ \frac{(u-\alpha)^2+v^2}{(u-\beta)^2+v^2} =\frac{t^2}{(1-t)^2} $$

が成り立つ。

ここで垂直条件

$$ v^2=-(u-\alpha)(u-\beta) $$

を用いると、

$$ (u-\alpha)^2+v^2 =(u-\alpha)^2-(u-\alpha)(u-\beta) =(u-\alpha)(\beta-\alpha) $$

同様に

$$ (u-\beta)^2+v^2 =(u-\beta)^2-(u-\alpha)(u-\beta) =(\beta-u)(\beta-\alpha) $$

となる。

したがって

$$ \frac{u-\alpha}{\beta-u}=\frac{t^2}{(1-t)^2} $$

を得る。これを解くと

$$ (1-t)^2(u-\alpha)=t^2(\beta-u) $$

より

$$ \bigl((1-t)^2+t^2\bigr)u=\alpha(1-t)^2+\beta t^2 $$

である。

ここで

$$ \alpha(1-t)^2=\frac{t}{1-t}(1-t)^2=t(1-t), \qquad \beta t^2=\frac{1-t}{t}t^2=t(1-t) $$

であるから、

$$ \bigl((1-t)^2+t^2\bigr)u=2t(1-t) $$

したがって

$$ u=\frac{2t(1-t)}{t^2+(1-t)^2} $$

となる。

さて、$\vec x=u\vec e+v\vec n$ であり、$\vec e$ は単位ベクトルなので

$$ \vec x\cdot \vec e =(u\vec e+v\vec n)\cdot \vec e =u $$

である。ゆえに

$$ \vec x\cdot \vec e=\frac{2t(1-t)}{t^2+(1-t)^2} $$

である。

解説

この問題の核心は、最初の2条件から $\vec a,\vec b$ がともに $\vec e$ の実数倍になると見抜くことである。これにより問題は実質的に、一直線上の2点 $\vec a,\vec b$ に対して、点 $\vec x$ がつくる直角三角形の条件を座標化して処理する問題になる。

また、$\vec x-\vec a$ と $\vec x-\vec b$ が垂直である条件を使うと、$v^2$ を消去できる。長さの比の条件と組み合わせることで、$\vec x$ の $\vec e$ 方向成分だけを直接求められるのがポイントである。

答え

$$ \vec x\cdot \vec e=\frac{2t(1-t)}{t^2+(1-t)^2} $$

である。