東北大学 1967年 理系 第3問 解説

方針・初手

面積は、放物線 $y=k(x-m)(x-n)$ の符号を区間ごとに確認して定積分で求める。

$k>0,\ m<n$ であるから、放物線は上に開き、$x=m,\ n$ で $x$ 軸と交わる。したがって、(1) では区間 $[m,n]$ でグラフが $x$ 軸の下側にあることを用い、(2) では区間 $[0,m]$ で上側にあることを用いる。

(3) では、まず (1) の式から $n-m$ を絞り込み、その後 (2) の条件を使って $m,\ n,\ k$ を決定するのが速い。

解法1

(1)

区間 $m\leqq x\leqq n$ では

$$ (x-m)(x-n)\leqq 0 $$

であるから、面積 $S$ は

$$ S=-\int_m^n k(x-m)(x-n),dx $$

で与えられる。

ここで $t=x-m$ とおくと、$x=n$ のとき $t=n-m$ であるから、

$$ S=-k\int_0^{n-m} t{t-(n-m)},dt $$

$$ =-k\int_0^{n-m}\left(t^2-(n-m)t\right),dt $$

$$ =-k\left[\frac{t^3}{3}-\frac{n-m}{2}t^2\right]_0^{n-m} $$

$$ =-k\left(\frac{(n-m)^3}{3}-\frac{(n-m)^3}{2}\right) =\frac{k}{6}(n-m)^3 $$

よって、

$$ S=\frac{k}{6}(n-m)^3 $$

である。

(2)

区間 $0\leqq x\leqq m$ では、$x-m\leqq 0,\ x-n\leqq 0$ であるから

$$ (x-m)(x-n)\geqq 0 $$

となる。したがって、求める面積 $T$ は

$$ T=\int_0^m k(x-m)(x-n),dx $$

である。

被積分関数を展開すると

$$ (x-m)(x-n)=x^2-(m+n)x+mn $$

であるから、

$$ T=k\int_0^m \left(x^2-(m+n)x+mn\right),dx $$

$$ =k\left[\frac{x^3}{3}-\frac{m+n}{2}x^2+mnx\right]_0^m $$

$$ =k\left(\frac{m^3}{3}-\frac{m+n}{2}m^2+nm^2\right) $$

$$ =k\left(\frac{m^3}{3}-\frac{m^3}{2}-\frac{nm^2}{2}+nm^2\right) $$

$$ =k\left(-\frac{m^3}{6}+\frac{nm^2}{2}\right) =\frac{k}{6}m^2(3n-m) $$

よって、

$$ T=\frac{k}{6}m^2(3n-m) $$

である。

(3)

条件 $S=9,\ T=45$ を用いる。

まず (1) の結果より

$$ \frac{k}{6}(n-m)^3=9 $$

すなわち

$$ k(n-m)^3=54 $$

となる。

ここで

$$ d=n-m $$

とおくと、$d$ は正の整数で

$$ kd^3=54 $$

を満たす。$54=2\cdot 3^3$ であるから、$d^3$ が $54$ を割るためには

$$ d=1,\ 3 $$

しかない。

次に (2) の結果より

$$ \frac{k}{6}m^2(3n-m)=45 $$

すなわち

$$ km^2(3n-m)=270 $$

である。さらに $n=m+d$ を代入すると

$$ km^2{3(m+d)-m}=270 $$

$$ km^2(2m+3d)=270 $$

となる。

(i) $d=1$ のとき

$$ k=54 $$

であるから、

$$ 54m^2(2m+3)=270 $$

$$ m^2(2m+3)=5 $$

となる。$m$ は正の整数なので、これを満たすのは

$$ m=1 $$

のみである。このとき

$$ n=m+d=2 $$

より、放物線は

$$ y=54(x-1)(x-2) $$

である。

(ii) $d=3$ のとき

$$ k=2 $$

であるから、

$$ 2m^2(2m+9)=270 $$

$$ m^2(2m+9)=135 $$

となる。ここで $m^2$ は $135$ の約数であるから、$m=1,\ 3$ を調べればよい。

$m=1$ では

$$ 1^2(2\cdot 1+9)=11\neq 135 $$

$m=3$ では

$$ 3^2(2\cdot 3+9)=9\cdot 15=135 $$

となるので、

$$ m=3 $$

である。このとき

$$ n=m+d=6 $$

より、放物線は

$$ y=2(x-3)(x-6) $$

である。

以上より、条件を満たす放物線は 2 個である。

解説

この問題の要点は、面積を求める前にグラフの位置関係を正しく見ることである。区間 $[m,n]$ では放物線は $x$ 軸の下側、区間 $[0,m]$ では上側にあるため、積分の符号が変わる。

また (3) では、先に $S=9$ から

$$ k(n-m)^3=54 $$

を作ると、整数条件により $n-m$ の候補がすぐに $1,\ 3$ に絞られる。ここで無理に $k,m,n$ を同時に探し始めると整理が悪くなるので、差 $n-m$ に注目するのが有効である。

答え

(1)

$$ S=\frac{k}{6}(n-m)^3 $$

(2)

$$ T=\frac{k}{6}m^2(3n-m) $$

(3)

求める放物線は

$$ y=54(x-1)(x-2),\qquad y=2(x-3)(x-6) $$

の 2 つである。