東北大学 2007年 理系 第6問 解説

方針・初手

(1) は直接積分すればよい。

(2) は部分積分を1回行い、途中で現れる $(1+x)^{3/2}$ を

$$ (1+x)^{3/2}=x\sqrt{1+x}+\sqrt{1+x} $$

と分解すると、$I_n(a)$ と $I_{n-1}(a)$ が現れる。

(3) は (2) の漸化式を $a^{n+\frac32}$ で割って極限をとる。すると $I_{n-1}(a)$ を含む項には $1/a$ が掛かるので消える。

解法1

(1)

まず

$$ I_0(a)=\int_0^a \sqrt{1+x},dx $$

を計算する。原始関数は

$$ \int \sqrt{1+x},dx=\frac23(1+x)^{\frac32} $$

であるから、

$$ I_0(a)=\left[\frac23(1+x)^{\frac32}\right]_0^a =\frac23\bigl((1+a)^{\frac32}-1\bigr) $$

となる。よって

$$ a^{-\frac32}I_0(a) =\frac23\left(\left(1+\frac1a\right)^{\frac32}-a^{-\frac32}\right) $$

であるから、$a\to\infty$ とすると

$$ \lim_{a\to\infty}a^{-\frac32}I_0(a)=\frac23 $$

を得る。

(2)

$n\geqq1$ とする。

$$ I_n(a)=\int_0^a x^n\sqrt{1+x},dx $$

に対し、部分積分を行う。すなわち

$$ u=x^n,\qquad dv=\sqrt{1+x},dx $$

とおくと、

$$ du=nx^{n-1}dx,\qquad v=\frac23(1+x)^{\frac32} $$

であるから、

$$ I_n(a) =\left[\frac23x^n(1+x)^{\frac32}\right]_0^a -\frac{2n}{3}\int_0^a x^{n-1}(1+x)^{\frac32},dx $$

となる。ここで

$$ (1+x)^{\frac32}=(x+1)\sqrt{1+x}=x\sqrt{1+x}+\sqrt{1+x} $$

より、

$$ x^{n-1}(1+x)^{\frac32} =x^n\sqrt{1+x}+x^{n-1}\sqrt{1+x} $$

である。したがって

$$ \int_0^a x^{n-1}(1+x)^{\frac32},dx =I_n(a)+I_{n-1}(a) $$

となるので、

$$ I_n(a)=\frac23a^n(1+a)^{\frac32}-\frac{2n}{3}\bigl(I_n(a)+I_{n-1}(a)\bigr) $$

を得る。これを整理すると

$$ \left(1+\frac{2n}{3}\right)I_n(a) =\frac23a^n(1+a)^{\frac32}-\frac{2n}{3}I_{n-1}(a) $$

すなわち

$$ I_n(a)=\frac{2}{2n+3}a^n(1+a)^{\frac32}-\frac{2n}{2n+3}I_{n-1}(a) $$

である。よって求める漸化式

$$ I_n(a)=\frac{2}{3+2n}a^n(1+a)^{\frac32}-\frac{2n}{3+2n}I_{n-1}(a) \qquad (n=1,2,\dots) $$

が示された。

(3)

$$ J_n(a)=a^{-\left(n+\frac32\right)}I_n(a) $$

とおく。(2) の式を $a^{n+\frac32}$ で割ると、

$$ J_n(a) =\frac{2}{2n+3}\left(1+\frac1a\right)^{\frac32} -\frac{2n}{2n+3}\cdot \frac1a, a^{-\left((n-1)+\frac32\right)}I_{n-1}(a) $$

すなわち

$$ J_n(a) =\frac{2}{2n+3}\left(1+\frac1a\right)^{\frac32} -\frac{2n}{2n+3}\cdot \frac1a,J_{n-1}(a) $$

を得る。

まず (1) より

$$ \lim_{a\to\infty}J_0(a)=\frac23 $$

である。

ここで $J_{n-1}(a)$ が有限値に収束すると仮定すると、$a$ が十分大きいとき $J_{n-1}(a)$ は有界である。したがって

$$ \frac1a,J_{n-1}(a)\to0 \qquad (a\to\infty) $$

となる。よって上の式から

$$ \lim_{a\to\infty}J_n(a) =\frac{2}{2n+3} $$

を得る。

これを $n=1,2,\dots$ に対して繰り返せば、

$$ \lim_{a\to\infty}a^{-\left(n+\frac32\right)}I_n(a) =\frac{2}{2n+3} $$

である。

解説

部分積分だけでは $I_n(a)$ のほかに別の積分が現れるが、そこで

$$ (1+x)^{\frac32}=x\sqrt{1+x}+\sqrt{1+x} $$

と分解するのが要点である。これにより新しい積分が $I_n(a)+I_{n-1}(a)$ となり、漸化式に落ちる。

また (3) では、$I_n(a)$ の主な増大度が $a^{n+\frac32}$ であることを見抜き、その形で割るのが本質である。漸化式を正規化すると、$I_{n-1}(a)$ の寄与は $1/a$ 倍されて消えるため、極限は先頭項だけで決まる。

答え

$$ \lim_{a\to\infty}a^{-\frac32}I_0(a)=\frac23 $$

$$ I_n(a)=\frac{2}{3+2n}a^n(1+a)^{\frac32}-\frac{2n}{3+2n}I_{n-1}(a) \qquad (n=1,2,\dots) $$

$$ \lim_{a\to\infty}a^{-\left(n+\frac32\right)}I_n(a)=\frac{2}{2n+3} \qquad (n\in\mathbb{N}) $$