東北大学 2013年 理系 第2問 解説

方針・初手

点 $H$ は面 $OAB$ 上にあるので、$\overrightarrow{OH}$ は $\vec a,\vec b$ の一次結合で表せる。

また、$CH$ は面 $OAB$ に垂直であるから、$\overrightarrow{CH}$ は $\vec a,\vec b$ の両方に直交する。この条件を内積で式にすれば、$\overrightarrow{OH}$ の係数が求まる。あとは直角三角形 $OHC$ を用いて $CH$ を求め、底面 $OAB$ をもつ四面体の体積公式に入れればよい。

解法1

まず、条件より

$$ |\vec a|=|\vec b|=|\vec c|=1,\qquad \vec a\cdot \vec b=\cos 60^\circ=\frac12,\qquad \vec b\cdot \vec c=\vec c\cdot \vec a=\cos 45^\circ=\frac{1}{\sqrt2} $$

である。

点 $H$ は面 $OAB$ 上にあるから、ある実数 $x,y$ を用いて

$$ \overrightarrow{OH}=x\vec a+y\vec b $$

とおける。

このとき

$$ \overrightarrow{CH}=\overrightarrow{OH}-\overrightarrow{OC}=x\vec a+y\vec b-\vec c $$

であり、$\overrightarrow{CH}$ は面 $OAB$ に垂直だから

$$ \overrightarrow{CH}\cdot \vec a=0,\qquad \overrightarrow{CH}\cdot \vec b=0 $$

が成り立つ。

したがって

$$ (x\vec a+y\vec b-\vec c)\cdot \vec a=0 $$

より

$$ x+\frac{y}{2}-\frac{1}{\sqrt2}=0 $$

また

$$ (x\vec a+y\vec b-\vec c)\cdot \vec b=0 $$

より

$$ \frac{x}{2}+y-\frac{1}{\sqrt2}=0 $$

を得る。

この2式の差をとると

$$ x-y=0 $$

すなわち $x=y$ である。これを

$$ x+\frac{y}{2}=\frac{1}{\sqrt2} $$

に代入すると

$$ \frac{3}{2}x=\frac{1}{\sqrt2} $$

より

$$ x=y=\frac{2}{3\sqrt2}=\frac{\sqrt2}{3} $$

となる。よって

$$ \overrightarrow{OH}=\frac{\sqrt2}{3}(\vec a+\vec b) $$

である。

次に $CH$ の長さを求める。

$\overrightarrow{OH}$ は面 $OAB$ 上にあり、$\overrightarrow{CH}$ は面 $OAB$ に垂直であるから、$\triangle OHC$ は $H$ を直角とする直角三角形である。したがって

$$ OC^2=OH^2+CH^2 $$

が成り立つ。

ここで

$$ OH^2=\left|\frac{\sqrt2}{3}(\vec a+\vec b)\right|^2 =\frac{2}{9}|\vec a+\vec b|^2 $$

であり、

$$ |\vec a+\vec b|^2 =|\vec a|^2+|\vec b|^2+2\vec a\cdot \vec b =1+1+2\cdot \frac12 =3 $$

だから

$$ OH^2=\frac{2}{9}\cdot 3=\frac23 $$

となる。よって

$$ CH^2=OC^2-OH^2=1-\frac23=\frac13 $$

より

$$ CH=\frac{1}{\sqrt3}=\frac{\sqrt3}{3} $$

である。

最後に体積を求める。

底面を $\triangle OAB$ とみると、その面積は

$$ \frac12\cdot OA\cdot OB\cdot \sin \angle AOB =\frac12\cdot 1\cdot 1\cdot \sin 60^\circ =\frac{\sqrt3}{4} $$

である。高さは $CH=\dfrac{\sqrt3}{3}$ であるから、四面体 $OABC$ の体積 $V$ は

$$ V=\frac13\cdot \frac{\sqrt3}{4}\cdot \frac{\sqrt3}{3} =\frac13\cdot \frac14 =\frac{1}{12} $$

となる。

解説

この問題の要点は、垂線の足 $H$ を直接座標で置くのではなく、$\overrightarrow{OH}$ を $\vec a,\vec b$ の一次結合で置くことである。

面に垂直という条件は、その面内の2本の独立なベクトル $\vec a,\vec b$ の両方に直交することと言い換えられる。したがって、内積を2本分立てれば係数が決まる。

その後は、$CH$ を無理に展開して求める必要はなく、$\triangle OHC$ が直角三角形であることを使うのが最も自然である。体積も、底面積と高さに分ければ計算は簡潔である。

答え

(1)

$$ \overrightarrow{OH}=\frac{\sqrt2}{3}(\vec a+\vec b) $$

(2)

$$ CH=\frac{1}{\sqrt3}=\frac{\sqrt3}{3} $$

(3)

四面体 $OABC$ の体積は

$$ \frac{1}{12} $$