東北大学 2020年 理系 第5問 解説

方針・初手

$z=-\dfrac{1}{t+i}$ は，分母を有理化すると実部・虚部がすぐに読み取れる形になる。

そのうえで，$z=x+yi$ とおいて $x,\ y$ を $t$ で表せば，$\left|z-\dfrac{i}{2}\right|$ や軌跡は座標平面の問題として処理できる。

解法1

まず，分母を有理化する。

$$ z=-\frac{1}{t+i}\cdot\frac{t-i}{t-i} =-\frac{t-i}{t^2+1} =-\frac{t}{t^2+1}+\frac{1}{t^2+1}i $$

したがって，$z=x+yi$ とおくと

$$ x=-\frac{t}{t^2+1},\qquad y=\frac{1}{t^2+1} $$

である。

（1） 実部と虚部

よって，

$$ \operatorname{Re}(z)=-\frac{t}{t^2+1},\qquad \operatorname{Im}(z)=\frac{1}{t^2+1} $$

である。

（2） $\left|z-\dfrac{i}{2}\right|$ を求める

上で求めた $x,\ y$ を用いると，

$$ z-\frac{i}{2}=x+\left(y-\frac12\right)i $$

であるから，

$$ \left|z-\frac{i}{2}\right|^2=x^2+\left(y-\frac12\right)^2 $$

ここで

$$ x^2+y^2=\left|z\right|^2 =\left|-\frac{1}{t+i}\right|^2 =\frac{1}{t^2+1} $$

かつ

$$ y=\frac{1}{t^2+1} $$

なので，

$$ \begin{aligned} \left|z-\frac{i}{2}\right|^2 &=x^2+y^2-y+\frac14 \\ &=\frac{1}{t^2+1}-\frac{1}{t^2+1}+\frac14 \\ &=\frac14 \end{aligned} $$

したがって，

$$ \left|z-\frac{i}{2}\right|=\frac12 $$

である。

（3） $-1\le t\le 1$ のときの軌跡

（2） より，点 $z$ は常に

$$ \left|z-\frac{i}{2}\right|=\frac12 $$

を満たす。これは複素数平面上で，中心 $\dfrac{i}{2}$，半径 $\dfrac12$ の円である。

さらに，$y=\dfrac{1}{t^2+1}$ であり，$-1\le t\le 1$ のとき

$$ \frac12\le y\le 1 $$

となる。したがって，この円のうち上半分を動く。

実際に端点を調べると，

$$ t=-1\ \Rightarrow\ z=\frac12+\frac12 i $$

$$ t=0\ \Rightarrow\ z=i $$

$$ t=1\ \Rightarrow\ z=-\frac12+\frac12 i $$

である。

よって，$t$ が $-1$ から $1$ まで動くとき，点 $z$ は

$$ \frac12+\frac12 i \ \text{から}\ -\frac12+\frac12 i $$

まで，点 $i$ を通る上半円を描く。

解説

この問題の本質は，複素数 $z$ を

$$ z=x+yi $$

の形に直し，$x,\ y$ の関係式を見ることである。

特に （2） で

$$ \left|z-\frac{i}{2}\right|=\frac12 $$

が出ると，点 $z$ の軌跡が円であることが即座に分かる。あとは $t$ の範囲 $-1\le t\le 1$ に対応して，その円全体ではなく上半円だけを取ればよい。

答え

$$ \operatorname{Re}(z)=-\frac{t}{t^2+1},\qquad \operatorname{Im}(z)=\frac{1}{t^2+1} $$

$$ \left|z-\frac{i}{2}\right|=\frac12 $$

$-1\le t\le 1$ のとき，点 $z$ の軌跡は，中心 $\dfrac{i}{2}$，半径 $\dfrac12$ の円

$$ \left|z-\frac{i}{2}\right|=\frac12 $$

の上半円であり，端点は

$$ \frac12+\frac12 i,\qquad -\frac12+\frac12 i $$

で，途中で $i$ を通る。