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東京大学 1992年理系第1問解説

方針・初手

面積 $S_1$ を定積分によって求める。
4点 $A, B, C, D$ を結んでできる四角形の面積を $b$ の関数 $f(b)$ として表す。関数 $y=\log x$ は上に凸であるため、この四角形は常に曲線 $y=\log x$ の下側に含まれる。したがって、$S_1$ との差が最小になるのは $f(b)$ が最大になるときである。
面積 $f(b)$ を $b$ で微分し、増減を調べることで最大値を与える $b$ を求める。
(2) では $S_1, S_2$ を $a$ で表した式について、$a \to \infty$ の極限を計算する。対数関数の極限の性質 $\lim_{x\to\infty}\frac{\log x}{x}=0$ を活用する。

解法1

(1)

曲線 $y = \log x$ と $x$ 軸の交点 $C$ の座標は $(1, 0)$ である。 $S_1$ は $x$ 軸、線分 $BA$ ($x=a$)、曲線 $y = \log x$ で囲まれた部分の面積であるから、

$$ \begin{aligned} S_1 &= \int_1^a \log x \, dx \\ &= \Big[ x \log x - x \Big]_1^a \\ &= a \log a - a + 1 \end{aligned} $$

点 $D$ から $x$ 軸に下ろした垂線の足を $H(b, 0)$ とする。 $1 \leqq b \leqq a$ において、4点 $A(a, 0)$, $B(a, \log a)$, $C(1, 0)$, $D(b, \log b)$ を頂点とする四辺形の面積を $f(b)$ とする。この図形は $\triangle CDH$ と台形 $HDBA$ を合わせたものであるから、

$$ \begin{aligned} f(b) &= \triangle CDH + (\text{台形 } HDBA) \\ &= \frac{1}{2}(b - 1)\log b + \frac{1}{2}(\log b + \log a)(a - b) \\ &= \frac{1}{2} \Big\{ (b - 1)\log b + (a - b)\log b + (a - b)\log a \Big\} \\ &= \frac{1}{2} \Big\{ (a - 1)\log b + (a - b)\log a \Big\} \end{aligned} $$

曲線 $y = \log x$ は $y'' = -\frac{1}{x^2} < 0$ より常に上に凸であるから、曲線上の点 $C, D, B$ を結ぶ折れ線は曲線の下側に位置する。よって、面積 $f(b)$ は常に $S_1$ 以下であり（$f(b) \leqq S_1$）、四辺形の面積が $S_1$ にもっとも近くなるのは $f(b)$ が最大となるときである。

$f(b)$ を $b$ で微分すると、

$$ f'(b) = \frac{1}{2} \left( \frac{a - 1}{b} - \log a \right) $$

$f'(b) = 0$ とすると、

$$ b = \frac{a - 1}{\log a} $$

ここで、この $b$ が $1 < b < a$ を満たすことを確認する。 $g(x) = x - 1 - \log x$ とおくと、$g'(x) = 1 - \frac{1}{x}$。$x > 1$ で $g'(x) > 0$ であり、$g(1) = 0$ なので、$x > 1$ で $g(x) > 0$。よって $a > 1$ において $a - 1 > \log a$ すなわち $\frac{a - 1}{\log a} > 1$ である。また、$h(x) = x \log x - x + 1$ とおくと、$h'(x) = \log x$。$x > 1$ で $h'(x) > 0$ であり、$h(1) = 0$ なので、$x > 1$ で $h(x) > 0$。よって $a > 1$ において $a \log a > a - 1$ すなわち $\frac{a - 1}{\log a} < a$ である。以上より、$1 < \frac{a - 1}{\log a} < a$ が成り立つ。

さらに $f''(b) = -\frac{a - 1}{2b^2} < 0$ であるから、$f(b)$ は $b = \frac{a - 1}{\log a}$ で極大かつ最大となる。したがって、求める $b$ の値は $b = \frac{a - 1}{\log a}$ である。

このときの四辺形の面積 $S_2$ は、

$$ \begin{aligned} S_2 &= f\left( \frac{a - 1}{\log a} \right) \\ &= \frac{1}{2} \left\{ (a - 1)\log \left( \frac{a - 1}{\log a} \right) + \left( a - \frac{a - 1}{\log a} \right)\log a \right\} \\ &= \frac{1}{2} \Big\{ (a - 1) \big( \log(a - 1) - \log(\log a) \big) + a \log a - a + 1 \Big\} \end{aligned} $$

(2)

求める極限は $\lim_{a \to \infty} \frac{S_2}{S_1}$ である。

$$ \frac{S_2}{S_1} = \frac{(a - 1) \big( \log(a - 1) - \log(\log a) \big) + a \log a - a + 1}{2(a \log a - a + 1)} $$

分母分子を $a \log a$ で割ると、分母は

$$ \frac{2(a \log a - a + 1)}{a \log a} = 2 \left( 1 - \frac{1}{\log a} + \frac{1}{a \log a} \right) $$

となり、$a \to \infty$ のとき $2$ に収束する。

分子の各項を $a \log a$ で割って極限を調べる。

$$ \begin{aligned} \frac{(a - 1) \log(a - 1)}{a \log a} &= \left( 1 - \frac{1}{a} \right) \frac{\log \big( a(1 - \frac{1}{a}) \big)}{\log a} \\ &= \left( 1 - \frac{1}{a} \right) \frac{\log a + \log \left( 1 - \frac{1}{a} \right)}{\log a} \\ &= \left( 1 - \frac{1}{a} \right) \left\{ 1 + \frac{\log \left( 1 - \frac{1}{a} \right)}{\log a} \right\} \end{aligned} $$

$a \to \infty$ のとき、これは $1 \times (1 + 0) = 1$ に収束する。

次に、

$$ \frac{(a - 1) \log(\log a)}{a \log a} = \left( 1 - \frac{1}{a} \right) \frac{\log(\log a)}{\log a} $$

$t = \log a$ とおくと、$a \to \infty$ のとき $t \to \infty$ であり、$\lim_{t \to \infty} \frac{\log t}{t} = 0$ であるから、この項は $1 \times 0 = 0$ に収束する。

残りの項は、

$$ \frac{a \log a - a + 1}{a \log a} = 1 - \frac{1}{\log a} + \frac{1}{a \log a} $$

であり、$a \to \infty$ のとき $1$ に収束する。

以上より、分子の極限は $1 - 0 + 1 = 2$ となる。よって、

$$ \lim_{a \to \infty} \frac{S_2}{S_1} = \frac{2}{2} = 1 $$

解説

面積を近似する問題であるが、グラフの凹凸（上に凸）を利用することで、四角形の面積が元の面積に内接し、最大化すればよいことに帰着できる。
関数 $f(b)$ を立てる際、頂点の順番に惑わされず、$x$ 軸上の直角三角形と台形に分割して計算すると見通しが良い。
最大値を与える $b$ の値が定義域 $1 \leqq b \leqq a$ の内側にあることの証明には、$x - 1 > \log x$ のような基本的な対数不等式を用いる。増減表や微分の基本操作として頻出である。
極限の計算では、不定形を解消するために分母の最大発散項である $a \log a$ で分母分子を割るのが定石である。$\lim_{x \to \infty} \frac{\log x}{x} = 0$ という性質を活用して各項の極限を丁寧に評価することが求められる。