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東京工業大学 1980年理系第4問解説

方針・初手

(1) は $S_1$ と $S_2$ を部分積分法を用いて具体的に計算し、その結果から大小を比較する。 (2) は示すべき不等式を $S_{n+2} - 2S_{n+1} + S_n > 0$ の形に移項し、左辺を1つの定積分にまとめて被積分関数の符号を調べる。 (3) は (2) の結果が数列 $\{S_n\}$ の階差数列に関する条件であることに着目し、(1) の結果を初期条件として利用することで、階差数列の正負と元の数列の単調性を導く。

解法1

(1)

$S_1$ を計算する。

$$ S_1 = \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} x \sin x \, dx $$

部分積分法を用いて、

$$ S_1 = \left[ -x \cos x \right]_0^{\frac{\pi}{2}} - \int_0^{\frac{\pi}{2}} (-\cos x) \, dx $$

$$ = 0 + \left[ \sin x \right]_0^{\frac{\pi}{2}} $$

$$ = 1 $$

次に $S_2$ を計算する。

$$ S_2 = \int_0^{\frac{\pi}{2}} x^2 \sin^2 x \, dx $$

半角の公式を用いて次数を下げる。

$$ S_2 = \int_0^{\frac{\pi}{2}} x^2 \frac{1 - \cos 2x}{2} \, dx $$

$$ = \frac{1}{2} \int_0^{\frac{\pi}{2}} x^2 \, dx - \frac{1}{2} \int_0^{\frac{\pi}{2}} x^2 \cos 2x \, dx $$

第1項の定積分は、

$$ \int_0^{\frac{\pi}{2}} x^2 \, dx = \left[ \frac{x^3}{3} \right]_0^{\frac{\pi}{2}} = \frac{\pi^3}{24} $$

第2項の定積分は、部分積分を繰り返し用いて、

$$ \int_0^{\frac{\pi}{2}} x^2 \cos 2x \, dx = \left[ x^2 \frac{\sin 2x}{2} \right]_0^{\frac{\pi}{2}} - \int_0^{\frac{\pi}{2}} 2x \frac{\sin 2x}{2} \, dx $$

$$ = 0 - \int_0^{\frac{\pi}{2}} x \sin 2x \, dx $$

$$ = - \left( \left[ x \frac{-\cos 2x}{2} \right]_0^{\frac{\pi}{2}} - \int_0^{\frac{\pi}{2}} \frac{-\cos 2x}{2} \, dx \right) $$

$$ = - \left( \frac{\pi}{4} + \left[ \frac{\sin 2x}{4} \right]_0^{\frac{\pi}{2}} \right) $$

$$ = - \frac{\pi}{4} $$

これらを代入して $S_2$ を求める。

$$ S_2 = \frac{1}{2} \cdot \frac{\pi^3}{24} - \frac{1}{2} \left( - \frac{\pi}{4} \right) = \frac{\pi^3}{48} + \frac{\pi}{8} = \frac{\pi^3 + 6\pi}{48} $$

ここで、$\pi > 3.1$ であることを用いて $\pi^3 + 6\pi$ を評価する。

$$ \pi^3 + 6\pi > 3.1^3 + 6 \times 3.1 = 29.791 + 18.6 = 48.391 > 48 $$

したがって、

$$ S_2 = \frac{\pi^3 + 6\pi}{48} > \frac{48}{48} = 1 $$

$S_1 = 1$ であるから、$S_1 < S_2$ が成り立つことが示された。

(2)

示すべき不等式 $S_{n+2} + S_n > 2S_{n+1}$ は、$S_{n+2} - 2S_{n+1} + S_n > 0$ と同値である。

左辺の各項を定積分の定義に従って書き下し、積分区間が等しいことを利用して1つの定積分にまとめる。

$$ S_{n+2} - 2S_{n+1} + S_n = \int_0^{\frac{\pi}{2}} x^{n+2} \sin^{n+2} x \, dx - 2 \int_0^{\frac{\pi}{2}} x^{n+1} \sin^{n+1} x \, dx + \int_0^{\frac{\pi}{2}} x^n \sin^n x \, dx $$

$$ = \int_0^{\frac{\pi}{2}} \left( x^{n+2} \sin^{n+2} x - 2x^{n+1} \sin^{n+1} x + x^n \sin^n x \right) dx $$

$$ = \int_0^{\frac{\pi}{2}} x^n \sin^n x \left( x^2 \sin^2 x - 2x \sin x + 1 \right) dx $$

$$ = \int_0^{\frac{\pi}{2}} x^n \sin^n x (x \sin x - 1)^2 \, dx $$

ここで、積分区間 $0 < x < \frac{\pi}{2}$ において、$x > 0$ かつ $\sin x > 0$ であるから、常に $x^n \sin^n x > 0$ が成り立つ。

また、実数の2乗は0以上であるから、$(x \sin x - 1)^2 \ge 0$ である。

したがって、被積分関数 $x^n \sin^n x (x \sin x - 1)^2$ は区間 $0 < x < \frac{\pi}{2}$ において0以上の連続関数であり、かつ恒等的に0ではない。

ゆえに、その定積分の値は正となる。

$$ \int_0^{\frac{\pi}{2}} x^n \sin^n x (x \sin x - 1)^2 \, dx > 0 $$

以上より、$S_{n+2} - 2S_{n+1} + S_n > 0$ となり、$S_{n+2} + S_n > 2S_{n+1}$ が成り立つことが示された。

(3)

数列 $\{S_n\}$ の階差数列を $a_n = S_{n+1} - S_n \quad (n = 1, 2, \dots)$ とおく。

(2) の結果より、$S_{n+2} - S_{n+1} > S_{n+1} - S_n$ であるから、すべての自然数 $n$ について以下が成り立つ。