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東京大学 1995年理系第2問解説

方針・初手

定積分を直接計算して関数 $g(x)$ の具体的な式を求め、不等式の左辺と右辺の差が $0$ 以上になることを示す方針が基本となる。また、被積分関数に $x-t$ が含まれる形は、定積分を $x$ で2回微分すると元の関数が現れるという性質を持つ。これを利用し、導関数の単調性（あるいは関数の凸性）から不等式を証明する方針も非常に有効である。

解法1

$g(x)$ の定義式を変形して定積分を計算する。

$$ \begin{aligned} g(x) &= \int_0^x (x - t)(1 - \sin t) dt \\ &= x \int_0^x (1 - \sin t) dt - \int_0^x t(1 - \sin t) dt \end{aligned} $$

それぞれの定積分を計算すると、

$$ \begin{aligned} \int_0^x (1 - \sin t) dt &= \left[ t + \cos t \right]_0^x \\ &= x + \cos x - 1 \end{aligned} $$

$$ \begin{aligned} \int_0^x t(1 - \sin t) dt &= \int_0^x t dt - \int_0^x t \sin t dt \\ &= \left[ \frac{1}{2}t^2 \right]_0^x - \left( \left[ t(-\cos t) \right]_0^x - \int_0^x 1 \cdot (-\cos t) dt \right) \\ &= \frac{1}{2}x^2 - \left( -x \cos x + \left[ \sin t \right]_0^x \right) \\ &= \frac{1}{2}x^2 + x \cos x - \sin x \end{aligned} $$

これらを $g(x)$ の式に代入する。

$$ \begin{aligned} g(x) &= x(x + \cos x - 1) - \left( \frac{1}{2}x^2 + x \cos x - \sin x \right) \\ &= x^2 + x \cos x - x - \frac{1}{2}x^2 - x \cos x + \sin x \\ &= \frac{1}{2}x^2 - x + \sin x \end{aligned} $$

次に、示すべき不等式の両辺の差を計算する。

$$ \begin{aligned} &g(x+y) + g(x-y) - 2g(x) \\ &= \left( \frac{1}{2}(x+y)^2 - (x+y) + \sin(x+y) \right) + \left( \frac{1}{2}(x-y)^2 - (x-y) + \sin(x-y) \right) - 2\left( \frac{1}{2}x^2 - x + \sin x \right) \\ &= \frac{1}{2} \left( (x^2+2xy+y^2) + (x^2-2xy+y^2) \right) - 2x + 2\sin x \cos y - x^2 + 2x - 2\sin x \\ &= x^2 + y^2 - 2x + 2\sin x \cos y - x^2 + 2x - 2\sin x \\ &= y^2 - 2\sin x (1 - \cos y) \end{aligned} $$

ここで、すべての実数 $x, y$ に対して $\sin x \leqq 1$ および $1 - \cos y \geqq 0$ が成り立つため、

$$ - 2\sin x (1 - \cos y) \geqq -2(1 - \cos y) $$

である。したがって、

$$ g(x+y) + g(x-y) - 2g(x) \geqq y^2 - 2(1 - \cos y) $$

が成り立つ。ここで、$k(y) = y^2 - 2(1 - \cos y)$ とおき、これがつねに $0$ 以上であることを示す。 $k(y)$ を $y$ で微分すると、

$$ k'(y) = 2y - 2\sin y $$

$$ k''(y) = 2 - 2\cos y = 2(1 - \cos y) \geqq 0 $$

$k''(y) \geqq 0$ より、$k'(y)$ はすべての実数 $y$ において単調に増加する。 $k'(0) = 0$ であるから、$y \leqq 0$ のとき $k'(y) \leqq 0$、$y \geqq 0$ のとき $k'(y) \geqq 0$ となる。ゆえに、$k(y)$ は $y = 0$ で最小値 $k(0) = 0$ をとるため、すべての実数 $y$ について $k(y) \geqq 0$ が成り立つ。

以上より、

$$ g(x+y) + g(x-y) - 2g(x) \geqq 0 $$

すなわち

$$ g(x+y) + g(x-y) \geqq 2g(x) $$

が示された。

解法2

$g(x)$ を $x$ について微分し、導関数の性質を利用する。 $g(x)$ の定義式を展開して変形すると、

$$ g(x) = x \int_0^x f(t) dt - \int_0^x t f(t) dt $$

両辺を $x$ で微分する。

$$ \begin{aligned} g'(x) &= 1 \cdot \int_0^x f(t) dt + x \cdot f(x) - x f(x) \\ &= \int_0^x f(t) dt \end{aligned} $$

さらに $x$ で微分すると、

$$ g''(x) = f(x) = 1 - \sin x $$

すべての実数 $x$ について $\sin x \leqq 1$ であるから、つねに $g''(x) \geqq 0$ が成り立つ。したがって、導関数 $g'(x)$ は実数全体で単調に増加する（厳密には単調非減少である）。

次に、示すべき不等式について $y$ の値で場合分けを行う。

(i)

$y = 0$ のとき

$$ g(x) + g(x) = 2g(x) $$

となり、等号が成立する。

(ii)

$y > 0$ のとき

区間 $[x-y, x]$ および $[x, x+y]$ において、関数 $g(x)$ に平均値の定理を適用する。

$$ \frac{g(x) - g(x-y)}{x - (x-y)} = g'(c_1) \quad (x-y < c_1 < x) $$

$$ \frac{g(x+y) - g(x)}{(x+y) - x} = g'(c_2) \quad (x < c_2 < x+y) $$

を満たす実数 $c_1, c_2$ が存在する。整理すると、

$$ \frac{g(x) - g(x-y)}{y} = g'(c_1) $$

$$ \frac{g(x+y) - g(x)}{y} = g'(c_2) $$

ここで、$c_1 < x < c_2$ であり、$g'(x)$ は単調非減少であるから、

$$ g'(c_1) \leqq g'(c_2) $$

が成り立つ。よって、

$$ \frac{g(x) - g(x-y)}{y} \leqq \frac{g(x+y) - g(x)}{y} $$

$y > 0$ より、両辺に $y$ を掛けて整理すると、

$$ g(x) - g(x-y) \leqq g(x+y) - g(x) $$

$$ g(x+y) + g(x-y) \geqq 2g(x) $$

が得られる。

(iii)

$y < 0$ のとき

$-y > 0$ であるから、$y' = -y$ とおくと、（ii）の結果より

$$ g(x+y') + g(x-y') \geqq 2g(x) $$

が成り立つ。$y'$ を元に戻すと、

$$ g(x-y) + g(x+y) \geqq 2g(x) $$

となり、これは $y > 0$ のときと同じ式である。

以上（i）, （ii）, （iii）より、任意の実数 $x, y$ について

$$ g(x+y) + g(x-y) \geqq 2g(x) $$

が成り立つことが示された。

解説

$\int_0^x (x-t)f(t)dt$ の形は、微積分において頻出の形であり、2回微分すると $f(x)$ になるという性質を持つ。これを知っていれば、解法2のように平均値の定理を用いて見通しよく証明できる（この不等式は、関数が下に凸であることを示している）。一方、解法1のように定積分を計算して直接証明することも十分に可能である。その場合、不等式証明の基本である「(左辺) - (右辺) $\geqq 0$」を構築し、$y$ の関数として増減を調べる力が問われる。