トップ› 東京工業大学› 1984年› 理系第4問

東京工業大学 1984年理系第4問解説

方針・初手

定積分される関数に絶対値が含まれているため、まずは絶対値の記号を外す必要がある。積分変数 $x$ の範囲は $0 \le x \le 1$ であるため、絶対値の中身 $x - a$ の符号が変わる境界 $x = a$ が積分区間に対してどこにあるかで、以下の3つの場合に分けて関数を立式し、増減を調べる。

解法1

$f(a) = \int_0^1 e^x |x - a| dx$ とおく。また、部分積分法より $\int x e^x dx = (x - 1)e^x + C$ （$C$ は積分定数）となることを利用する。

(i)

$a \le 0$ のとき積分区間 $0 \le x \le 1$ において常に $x - a \ge 0$ であるから、$|x - a| = x - a$ となる。

$$ f(a) = \int_0^1 e^x (x - a) dx $$

$$ = \int_0^1 (x e^x - a e^x) dx $$

$$ = \left[ (x - 1)e^x - a e^x \right]_0^1 $$

$$ = (0 - a e) - (-1 - a) $$

$$ = 1 - (e - 1)a $$

$e - 1 > 0$ であるから、$a \le 0$ の範囲において $f(a)$ は単調減少関数である。

(ii)

$a \ge 1$ のとき積分区間 $0 \le x \le 1$ において常に $x - a \le 0$ であるから、$|x - a| = -(x - a) = a - x$ となる。

$$ f(a) = \int_0^1 e^x (a - x) dx $$

$$ = \int_0^1 (a e^x - x e^x) dx $$

$$ = \left[ a e^x - (x - 1)e^x \right]_0^1 $$

$$ = (a e - 0) - (a - (-1)) $$

$$ = (e - 1)a - 1 $$

$e - 1 > 0$ であるから、$a \ge 1$ の範囲において $f(a)$ は単調増加関数である。

(iii)

$0 < a < 1$ のとき積分区間を $0 \le x \le a$ と $a \le x \le 1$ に分割して計算する。 $0 \le x \le a$ では $|x - a| = a - x$、$a \le x \le 1$ では $|x - a| = x - a$ である。

$$ f(a) = \int_0^a e^x (a - x) dx + \int_a^1 e^x (x - a) dx $$

$$ = \left[ a e^x - (x - 1)e^x \right]_0^a + \left[ (x - 1)e^x - a e^x \right]_a^1 $$

$$ = \left( a e^a - (a - 1)e^a \right) - (a - (-1)) + (0 - a e) - \left( (a - 1)e^a - a e^a \right) $$

$$ = (e^a - a - 1) - a e - (-e^a) $$

$$ = 2e^a - (e + 1)a - 1 $$

ここで、$f(a)$ の増減を調べるために $a$ で微分すると、

$$ f'(a) = 2e^a - (e + 1) $$

$f'(a) = 0$ となる $a$ の値を求める。

$$ e^a = \frac{e + 1}{2} $$

$$ a = \log \frac{e + 1}{2} $$

このとき、$2 < e + 1 < 2e$ より $1 < \frac{e + 1}{2} < e$ であるため、底が $e$ の対数をとると

$$ 0 < \log \frac{e + 1}{2} < 1 $$

となり、この $a$ の値は区間 $0 < a < 1$ に含まれる。 $\alpha = \log \frac{e + 1}{2}$ とおくと、$0 < a < \alpha$ において $f'(a) < 0$、$\alpha < a < 1$ において $f'(a) > 0$ となるため、$f(a)$ は $a = \alpha$ で極小かつ最小となる。

以上（i）、（ii）、（iii）の結果と、$f(a)$ がすべての実数 $a$ において連続であることから、$f(a)$ は $0 < a < 1$ の範囲にある $a = \log \frac{e + 1}{2}$ のときに全体の最小値をとる。

解説

絶対値を含む定積分を関数とみたときの最小値を求める典型問題である。絶対値を外すための積分区間の分割と、その境界となる変数の場合分けを確実に行えるかがポイントである。極値を与える $a$ の値を求めたあと、その値が「場合分けの条件（今回は $0 < a < 1$）を満たしているか」を不等式を用いて確認するステップを忘れないようにしたい。