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東京工業大学 1986年理系第5問解説

方針・初手

曲線の式から $y$ を $x$ について解き、定積分で面積 $A(m, n)$ を立式する。被積分関数が無理関数を含むため、$x = t^m$ と置換積分を行うと多項式の定積分となり、計算が見通しやすくなる。(2) は得られた定積分に対して部分積分を用いて漸化式を導出する。

解法1

曲線 $x^{\frac{1}{m}} + y^{\frac{1}{n}} = 1$ は第1象限において

$$ y^{\frac{1}{n}} = 1 - x^{\frac{1}{m}} $$

$$ y = (1 - x^{\frac{1}{m}})^n $$

と表される。また、第1象限における $x$ の変域は $0 \leqq x \leqq 1$ である。したがって、面積 $A(m, n)$ は

$$ A(m, n) = \int_0^1 (1 - x^{\frac{1}{m}})^n dx $$

となる。

(1)

$n = 1$ のとき、面積は

$$ A(m, 1) = \int_0^1 (1 - x^{\frac{1}{m}}) dx $$

これを計算して

$$ A(m, 1) = \left[ x - \frac{m}{m+1} x^{\frac{m+1}{m}} \right]_0^1 = 1 - \frac{m}{m+1} = \frac{1}{m+1} $$

(2)

$A(m, n)$ の積分の式において、$x = t^m$ と置換する。

$dx = m t^{m-1} dt$ であり、$x$ が $0$ から $1$ まで変化するとき、$t$ も $0$ から $1$ まで変化する。よって、

$$ A(m, n) = \int_0^1 (1 - t)^n \cdot m t^{m-1} dt = m \int_0^1 t^{m-1} (1 - t)^n dt $$

これより、$A(m, n+1)$ は

$$ A(m, n+1) = m \int_0^1 t^{m-1} (1 - t)^{n+1} dt $$

部分積分法を用いて計算すると

$$ A(m, n+1) = m \int_0^1 \left( \frac{t^m}{m} \right)' (1 - t)^{n+1} dt $$

$$ A(m, n+1) = m \left[ \frac{t^m}{m} (1 - t)^{n+1} \right]_0^1 - m \int_0^1 \frac{t^m}{m} \cdot (n+1)(1 - t)^n \cdot (-1) dt $$

第1項は $t=1, 0$ のときにそれぞれ $0$ となるから、

$$ A(m, n+1) = (n+1) \int_0^1 t^m (1 - t)^n dt $$

一方で、$A(m+1, n)$ は上記の $A(m, n)$ の表式の $m$ を $m+1$ に置き換えたものであるから、

$$ A(m+1, n) = (m+1) \int_0^1 t^m (1 - t)^n dt $$

したがって、

$$ \int_0^1 t^m (1 - t)^n dt = \frac{1}{m+1} A(m+1, n) $$

これを代入して

$$ A(m, n+1) = \frac{n+1}{m+1} A(m+1, n) $$

が示された。

(3)

(2) の結果から、任意の自然数 $k, l$ について

$$ A(k, l) = \frac{l}{k+1} A(k+1, l-1) $$

が成り立つ（ただし $l \geqq 2$）。これを繰り返し用いると

$$ A(m, n) = \frac{n}{m+1} A(m+1, n-1) $$

$$ A(m, n) = \frac{n}{m+1} \cdot \frac{n-1}{m+2} A(m+2, n-2) $$

$$ \vdots $$

$$ A(m, n) = \frac{n}{m+1} \cdot \frac{n-1}{m+2} \cdots \frac{2}{m+n-1} A(m+n-1, 1) $$

ここで、(1) の結果より

$$ A(m+n-1, 1) = \frac{1}{(m+n-1)+1} = \frac{1}{m+n} $$

であるから、これを代入して

$$ A(m, n) = \frac{n(n-1) \cdots 2 \cdot 1}{(m+1)(m+2) \cdots (m+n-1)(m+n)} $$

分母と分子に $m!$ を掛けると

$$ A(m, n) = \frac{m! n!}{(m+n)!} $$

解説

オイラーのベータ関数 $B(p, q) = \int_0^1 t^{p-1} (1-t)^{q-1} dt$ に帰着される有名な定積分である。置換積分 $x = t^m$ を行わずに $x$ のまま部分積分を繰り返すことも可能であるが、微分の計算がやや煩雑になる。そのため、早めに多項式の積分に直すことが計算ミスを減らすポイントとなる。漸化式を繰り返し用いて一般項を求める手法は、確率や数列の問題でも頻出の処理であるため確実に習得しておきたい。