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東京工業大学 2005年理系第1問解説

方針・初手

(1)は、$\int_1^e (\log x)^n dx$ について部分積分を行い、$a_n$ と $a_{n-1}$ の関係式を導いた後、$a_{n-1}$ と $a_{n-2}$ の関係式も用いて辺々を引くことで示される。 (2)は、積分区間 $(1, e)$ における被積分関数 $(\log x)^n$ の大小関係を比較する。 (3)は、(1)で示した漸化式と(2)で示した大小関係 $a_{n-1} > a_n$ を組み合わせることで、$a_n$ と $a_{n-2}$ の不等式を導き、それを繰り返し用いる。

解法1

(1)

$a_n = \int_1^e (\log x)^n dx$ に対し、部分積分を行う。

$$ \begin{aligned} a_n &= \int_1^e 1 \cdot (\log x)^n dx \\ &= \left[ x (\log x)^n \right]_1^e - \int_1^e x \cdot n (\log x)^{n-1} \cdot \frac{1}{x} dx \\ &= e (\log e)^n - 1 \cdot (\log 1)^n - n \int_1^e (\log x)^{n-1} dx \\ &= e - n a_{n-1} \end{aligned} $$

したがって、すべての自然数 $n$ に対して、

$$ a_n = e - n a_{n-1} $$

が成り立つ。$n \geqq 3$ のとき、番号を1つ下げた式

$$ a_{n-1} = e - (n-1) a_{n-2} $$

も成り立つ。上の式から下の式を辺々引くと、

$$ a_n - a_{n-1} = -n a_{n-1} + (n-1) a_{n-2} $$

移項して整理すると、

$$ a_n = (n-1) a_{n-2} - (n-1) a_{n-1} = (n-1)(a_{n-2} - a_{n-1}) $$

となり、示された。

(2)

積分区間 $1 < x < e$ において、$0 < \log x < 1$ である。

したがって、すべての自然数 $n$ に対して、

$$ 0 < (\log x)^{n+1} < (\log x)^n $$

が成り立つ。両辺を $1$ から $e$ まで積分すると、

$$ 0 < \int_1^e (\log x)^{n+1} dx < \int_1^e (\log x)^n dx $$

すなわち、

$$ 0 < a_{n+1} < a_n $$

が成り立つ。よって、$n \geqq 1$ に対し $a_n > a_{n+1} > 0$ であることが示された。

(3)

(1)より、$n \geqq 3$ のとき、

$$ a_n = (n-1)(a_{n-2} - a_{n-1}) $$

である。ここで(2)より、$a_{n-1} > a_n$ であるから、

$$ a_n < (n-1)(a_{n-2} - a_n) $$

展開して整理すると、

$$ a_n < (n-1)a_{n-2} - (n-1)a_n $$

$$ n a_n < (n-1)a_{n-2} $$

$$ a_n < \frac{n-1}{n} a_{n-2} $$

が成り立つ。この不等式において $n = 2k \ (k \geqq 2)$ とおくと、

$$ a_{2k} < \frac{2k-1}{2k} a_{2k-2} $$

となる。これを繰り返し用いると、

$$ a_{2n} < \frac{2n-1}{2n} a_{2n-2} < \frac{2n-1}{2n} \cdot \frac{2n-3}{2n-2} a_{2n-4} < \cdots < \frac{2n-1}{2n} \cdot \frac{2n-3}{2n-2} \cdots \frac{3}{4} a_2 $$

となる。ここで、$a_2$ を計算する。$a_1$ は、

$$ a_1 = \int_1^e \log x dx = \left[ x \log x - x \right]_1^e = (e - e) - (0 - 1) = 1 $$

であり、(1)の途中で導いた $a_n = e - n a_{n-1}$ に $n=2$ を代入すると、

$$ a_2 = e - 2 a_1 = e - 2 $$

となる。これを上の不等式に代入して、

$$ a_{2n} < \frac{3 \cdot 5 \cdots (2n-1)}{4 \cdot 6 \cdots (2n)} (e-2) $$

が成立することが示された。

解説

$(\log x)^n$ の定積分は部分積分を用いて漸化式を作る典型問題である。本問では $a_n = e - n a_{n-1}$ の形からさらに差分をとって新しい漸化式を作る操作が求められている。 (3)は、漸化式と不等式を連立させて評価する標準的な手法を用いる。$a_{n-1} > a_n$ を代入して $a_n$ と $a_{n-2}$ の2項間の不等式に持ち込むのがポイントである。ウォリス積の証明などでも見られる有名手法なので、確実に押さえておきたい。