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京都大学 2023年理系第1問解説

方針・初手

問1：対数の性質を用いて真数部分を整理してから、部分積分法を用いて定積分を計算する。問2：割る式 $x^4+x^3+x^2+x+1$ に $x-1$ を掛けると $x^5-1$ になることに着目し、$x^5-1$ の倍数を作り出して式の次数を大幅に下げる。

解法1

問1

積分区間 $1 \leqq x \leqq 4$ において $x > 0$ であるから、$\log(x^2) = 2\log x$ と変形できる。与えられた定積分は、

$$ \int_{1}^{4} \sqrt{x} \log(x^2) dx = 2 \int_{1}^{4} x^{\frac{1}{2}} \log x dx $$

部分積分法を用いると、

$$ \int_{1}^{4} x^{\frac{1}{2}} \log x dx = \int_{1}^{4} \left( \frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}} \right)' \log x dx $$

$$ = \left[ \frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}} \log x \right]_{1}^{4} - \int_{1}^{4} \frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}} \cdot \frac{1}{x} dx $$

$$ = \left( \frac{2}{3} \cdot 4^{\frac{3}{2}} \log 4 - 0 \right) - \frac{2}{3} \int_{1}^{4} x^{\frac{1}{2}} dx $$

ここで、$4^{\frac{3}{2}} = (2^2)^{\frac{3}{2}} = 2^3 = 8$、$\log 4 = 2\log 2$ であるから、第一項は

$$ \frac{2}{3} \cdot 8 \cdot 2\log 2 = \frac{32}{3} \log 2 $$

第二項の定積分は、

$$ \frac{2}{3} \left[ \frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}} \right]_{1}^{4} = \frac{4}{9} (4^{\frac{3}{2}} - 1^{\frac{3}{2}}) = \frac{4}{9} (8 - 1) = \frac{28}{9} $$

よって、求める定積分の値は、

$$ 2 \left( \frac{32}{3} \log 2 - \frac{28}{9} \right) = \frac{64}{3} \log 2 - \frac{56}{9} $$

問2

整式 $P(x) = x^4 + x^3 + x^2 + x + 1$ とおく。 $x^5 - 1 = (x-1)(x^4 + x^3 + x^2 + x + 1) = (x-1)P(x)$ であるから、$x^5 - 1$ は $P(x)$ で割り切れる。割られる式 $x^{2023} - 1$ を、$x^5$ を基準とした形に変形する。 $2023 = 5 \times 404 + 3$ より、

$$ x^{2023} - 1 = x^{5 \times 404 + 3} - 1 $$

$$ = x^3 (x^{5 \times 404} - 1) + x^3 - 1 $$

ここで、$X = x^5$ とおくと、

$$ x^{5 \times 404} - 1 = X^{404} - 1 = (X - 1)(X^{403} + X^{402} + \cdots + 1) $$

因数 $X - 1 = x^5 - 1$ をもつので、$x^{5 \times 404} - 1$ は $x^5 - 1$ で割り切れる。 $x^5 - 1$ は $P(x)$ で割り切れるため、$x^{5 \times 404} - 1$ も $P(x)$ で割り切れる。すなわち、ある整式 $Q(x)$ を用いて $x^{5 \times 404} - 1 = P(x)Q(x)$ と表せる。これを与式に代入すると、

$$ x^{2023} - 1 = x^3 P(x)Q(x) + x^3 - 1 $$

$$ = P(x) \{ x^3 Q(x) \} + x^3 - 1 $$

$x^3 - 1$ の次数は3次であり、割る式 $P(x)$ の次数（4次）よりも低いため、これが求める余りである。

解法2

問2（多項式の合同式を用いた解法）整式 $P(x) = x^4 + x^3 + x^2 + x + 1$ を法とする合同式を考える。 $P(x) \equiv 0 \pmod{P(x)}$ である。また、$x^5 - 1 = (x-1)P(x)$ であるから、

$$ x^5 - 1 \equiv 0 \pmod{P(x)} $$

すなわち、$x^5 \equiv 1 \pmod{P(x)}$ が成り立つ。求める余りは $x^{2023} - 1$ を $P(x)$ で割った余りである。指数を5で割ると $2023 = 5 \times 404 + 3$ となるので、

$$ x^{2023} - 1 = (x^5)^{404} \cdot x^3 - 1 $$

ここで、$x^5 \equiv 1 \pmod{P(x)}$ を代入して次数を下げる。

$$ (x^5)^{404} \cdot x^3 - 1 \equiv 1^{404} \cdot x^3 - 1 \pmod{P(x)} $$

$$ \equiv x^3 - 1 \pmod{P(x)} $$

整式 $x^3 - 1$ は割る式 $P(x)$ の次数（4次）よりも低いため、これが求める余りとなる。

解説

問1は対数関数を含む積分計算の典型問題です。$\log(x^2)$ をそのまま部分積分することも可能ですが、$2\log x$ と簡略化してから計算を進める方が、計算ミスを減らすことができます。部分積分時の定数倍の扱いや指数の計算に注意しましょう。
問2は高次式の割り算における頻出テーマです。実際に筆算等で割り算を実行することは不可能なため、割る式の特徴に着目します。$x^4+x^3+x^2+x+1$ が $x^5-1$ の因数であることを利用し、「実質的に $x^5=1$ として次数を下げる」という定石を用いるとスムーズに解くことができます。解法2のように多項式の合同式を用いると、論理展開が非常にすっきりとまとまります。