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東京工業大学 1987年理系第4問解説

方針・初手

(1) 媒介変数表示された曲線が $x$ 軸に接する条件は、接点において $y=0$ かつ $\frac{dy}{dx}=0$ が成り立つことである。微分の公式を用いて立式し、$a$ について解く。 (2) グラフの概形を把握し、求める面積の領域を明確にする。面積計算において、$x$ 軸方向に積分すると直線と曲線の境界で区間を分ける必要があるが、$y$ 軸方向に積分すると一つの定積分で表現でき、計算量が大幅に減る。

解法1

(1) 与えられた曲線の式は

$$ x = t + e^{at}, \quad y = -t + e^{at} $$

これを $t$ で微分すると

$$ \frac{dx}{dt} = 1 + ae^{at}, \quad \frac{dy}{dt} = -1 + ae^{at} $$

$a$ は正数であるから、$a > 0$ よりつねに $\frac{dx}{dt} > 0$ である。したがって $x$ は $t$ について単調増加する。

曲線 $C$ が $x$ 軸に接するための条件は、接点となるある $t$ の値において $y=0$ かつ接線の傾き $\frac{dy}{dx}=0$ となることである。 $\frac{dx}{dt} \neq 0$ より

$$ \frac{dy}{dx} = \frac{\frac{dy}{dt}}{\frac{dx}{dt}} = \frac{-1 + ae^{at}}{1 + ae^{at}} $$

$\frac{dy}{dx} = 0$ となるのは、分子が $0$ になるときであるから

$$ -1 + ae^{at} = 0 \iff e^{at} = \frac{1}{a} $$

このとき $y = 0$ も満たさなければならないので

$$ -t + e^{at} = 0 \iff t = e^{at} = \frac{1}{a} $$

これらを連立させると、$t = \frac{1}{a}$ を $e^{at} = \frac{1}{a}$ に代入して

$$ e^{a \cdot \frac{1}{a}} = \frac{1}{a} $$

$$ e = \frac{1}{a} $$

よって、$a = \frac{1}{e}$ である。

(2) (1) の結果より $a = \frac{1}{e}$ であるから、曲線 $C$ は

$$ x = t + e^{\frac{t}{e}}, \quad y = -t + e^{\frac{t}{e}} $$

$\frac{dy}{dt} = -1 + \frac{1}{e}e^{\frac{t}{e}}$ であり、$\frac{dy}{dt} = 0$ となるのは $e^{\frac{t}{e}} = e$ すなわち $t = e$ のときである。増減を調べると、$t < e$ で $\frac{dy}{dt} < 0$、$t > e$ で $\frac{dy}{dt} > 0$ となるから、$y$ は $t=e$ のとき最小値 $0$ をとる。また、曲線 $C$ と直線 $y=x$ の交点の $t$ 座標は

$$ -t + e^{\frac{t}{e}} = t + e^{\frac{t}{e}} \iff 2t = 0 \iff t = 0 $$

$t=0$ のとき $(x, y) = (1, 1)$ であるから、交点は $(1, 1)$ である。

求める面積 $S$ は、$y=0$、$y=x$ および曲線 $C$ で囲まれた部分である。 $0 \leqq x \leqq 1$ では $y=x$ と $y=0$ に挟まれ、$1 \leqq x \leqq 2e$ では曲線 $C$ と $y=0$ に挟まれている。よって $S$ は $x$ 軸方向の積分を用いて次のように表せる。

$$ S = \int_{0}^{1} x \, dx + \int_{1}^{2e} y \, dx $$

第1項は $\int_{0}^{1} x \, dx = \left[ \frac{1}{2}x^2 \right]_{0}^{1} = \frac{1}{2}$ である。第2項について、$x = t + e^{\frac{t}{e}}$ より $dx = \left( 1 + \frac{1}{e}e^{\frac{t}{e}} \right) dt$ であり、$x$ が $1$ から $2e$ まで動くとき、$t$ は $0$ から $e$ まで動く。

$$ \int_{1}^{2e} y \, dx = \int_{0}^{e} \left( -t + e^{\frac{t}{e}} \right) \left( 1 + \frac{1}{e}e^{\frac{t}{e}} \right) dt $$

被積分関数を展開すると

$$ \left( -t + e^{\frac{t}{e}} \right) \left( 1 + \frac{1}{e}e^{\frac{t}{e}} \right) = -t - \frac{t}{e}e^{\frac{t}{e}} + e^{\frac{t}{e}} + \frac{1}{e}e^{\frac{2t}{e}} $$

各項を積分する。

$$ \int_{0}^{e} (-t) \, dt = \left[ -\frac{1}{2}t^2 \right]_{0}^{e} = -\frac{1}{2}e^2 $$

$$ \int_{0}^{e} e^{\frac{t}{e}} \, dt = \left[ e e^{\frac{t}{e}} \right]_{0}^{e} = e^2 - e $$

$$ \int_{0}^{e} \frac{1}{e}e^{\frac{2t}{e}} \, dt = \left[ \frac{1}{2}e^{\frac{2t}{e}} \right]_{0}^{e} = \frac{1}{2}e^2 - \frac{1}{2} $$

また、部分積分法を用いて

$$ \int_{0}^{e} t e^{\frac{t}{e}} \, dt = \left[ t \cdot e e^{\frac{t}{e}} \right]_{0}^{e} - \int_{0}^{e} e e^{\frac{t}{e}} \, dt = e^2 \cdot e - \left[ e^2 e^{\frac{t}{e}} \right]_{0}^{e} = e^3 - (e^3 - e^2) = e^2 $$

となるから

$$ \int_{0}^{e} \left( - \frac{t}{e}e^{\frac{t}{e}} \right) dt = - \frac{1}{e} \cdot e^2 = -e $$

これらを足し合わせると

$$ \int_{1}^{2e} y \, dx = -\frac{1}{2}e^2 + (e^2 - e) + \left( \frac{1}{2}e^2 - \frac{1}{2} \right) - e = e^2 - 2e - \frac{1}{2} $$

以上より、求める面積 $S$ は

$$ S = \frac{1}{2} + \left( e^2 - 2e - \frac{1}{2} \right) = e^2 - 2e $$

解法2

(2) の別解（$y$ 軸方向の積分）

求める面積 $S$ の領域は、$0 \leqq y \leqq 1$ の範囲にあり、左側の境界は直線 $x = y$、右側の境界は曲線 $C$ の $x = t + e^{\frac{t}{e}}$ である。これを $y$ 軸方向に積分して求める。

$$ S = \int_{0}^{1} (x_C - y) \, dy $$

ここで $x_C$ は曲線 $C$ の $x$ 座標を表す。 $y$ が $0$ から $1$ まで変化するとき、$t$ は $e$ から $0$ まで変化する。 $y = -t + e^{\frac{t}{e}}$ より $dy = \left( -1 + \frac{1}{e}e^{\frac{t}{e}} \right) dt$ であるから、置換積分を行うと

$$ S = \int_{e}^{0} (x_C - y) \left( -1 + \frac{1}{e}e^{\frac{t}{e}} \right) dt $$

曲線 $C$ において $x_C - y = (t + e^{\frac{t}{e}}) - (-t + e^{\frac{t}{e}}) = 2t$ であるから

$$ S = \int_{e}^{0} 2t \left( -1 + \frac{1}{e}e^{\frac{t}{e}} \right) dt $$

積分区間を反転させると

$$ S = \int_{0}^{e} 2t \left( 1 - \frac{1}{e}e^{\frac{t}{e}} \right) dt = \int_{0}^{e} \left( 2t - \frac{2}{e} t e^{\frac{t}{e}} \right) dt $$

積分を計算する。

$$ \int_{0}^{e} 2t \, dt = \left[ t^2 \right]_{0}^{e} = e^2 $$

部分積分法より

$$ \int_{0}^{e} t e^{\frac{t}{e}} \, dt = \left[ t \left( e e^{\frac{t}{e}} \right) \right]_{0}^{e} - \int_{0}^{e} 1 \cdot e e^{\frac{t}{e}} \, dt = e^3 - \left[ e^2 e^{\frac{t}{e}} \right]_{0}^{e} = e^3 - (e^3 - e^2) = e^2 $$

したがって

$$ \int_{0}^{e} \frac{2}{e} t e^{\frac{t}{e}} \, dt = \frac{2}{e} \cdot e^2 = 2e $$

よって、面積 $S$ は

$$ S = e^2 - 2e $$

解説

(1)について 媒介変数表示された曲線が座標軸に接する条件を問う典型問題である。「接点において $y=0$ になる」だけでなく、「接線の傾きが $0$ になる（つまり $\frac{dy}{dx} = 0$）」という2つの条件を同時に満たす $t$ が存在することを立式すればよい。
(2)について 面積の計算では、グラフの上下関係と左右関係を正確に把握することが重要である。解法1のように $x$ 軸方向に積分するのが自然な発想であるが、この場合は積分区間を $0 \leqq x \leqq 1$ と $1 \leqq x \leqq 2e$ の2つに分割する必要があり、計算が大きく膨らんでしまう。一方、解法2のように $y$ 軸方向に積分すると、領域の右端が曲線 $C$、左端が直線 $y=x$ と一意に決まるため、1つの定積分にまとめることができる。さらに $x_C - y = 2t$ となることで被積分関数が劇的にシンプルになり、計算ミスを防ぎやすくなる。面積計算において、縦に切るか横に切るかの見極めが大きな差を生む好例である。