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大阪大学 2022年理系第5問解説

方針・初手

媒介変数 $t$ で表された曲線 $C$ について、$x$ 軸との交点および $x$ の増減を調べることで、曲線の概形と積分区間を決定する。面積を $x$ に関する積分で表したのち、置換積分法を用いて $t$ の積分に直し、計算を実行する。計算の際、$x$ には定数項 $e^\pi$ が含まれているが、$x$ を $t$ で微分する際に消去されるため、$S = \int y \,dx$ の形から置換積分に持ち込むと計算が楽になる。

解法1

$x = e^t \cos t + e^\pi, \quad y = e^t \sin t \quad (0 \leqq t \leqq \pi)$

まず、曲線 $C$ と $x$ 軸の交点を求める。 $0 \leqq t \leqq \pi$ において $e^t > 0$ であるから、$y = 0$ となるのは $\sin t = 0$ のときであり、これを満たす $t$ は $t = 0, \pi$ である。このとき、 $t = 0$ のとき $x = e^0 \cos 0 + e^\pi = 1 + e^\pi$ $t = \pi$ のとき $x = e^\pi \cos \pi + e^\pi = -e^\pi + e^\pi = 0$ また、$0 \leqq t \leqq \pi$ において $y \geqq 0$ である。

次に、$x$ の増減を調べる。

$$ \frac{dx}{dt} = e^t \cos t + e^t (-\sin t) = e^t (\cos t - \sin t) $$

$\frac{dx}{dt} = 0$ となるのは、$\cos t - \sin t = 0$、すなわち $\tan t = 1$ のときである。 $0 \leqq t \leqq \pi$ の範囲でこれを解くと $t = \frac{\pi}{4}$ となる。 $t = \frac{\pi}{4}$ のときの $x$ の値を $\alpha$ とおく。（$\alpha = \frac{\sqrt{2}}{2} e^{\frac{\pi}{4}} + e^\pi$）

$x$ の増減表は以下のようになる。

$t$	$0$	$\cdots$	$\frac{\pi}{4}$	$\cdots$	$\pi$
$\frac{dx}{dt}$		$+$	$0$	$-$
$x$	$1+e^\pi$	$\nearrow$	$\alpha$	$\searrow$	$0$

この増減表から、曲線 $C$ は $t$ が $0$ から $\frac{\pi}{4}$ まで増加するとき、$x$ は $1+e^\pi$ から $\alpha$ まで増加し、 $t$ が $\frac{\pi}{4}$ から $\pi$ まで増加するとき、$x$ は $\alpha$ から $0$ まで減少することがわかる。

$t$ が $\frac{\pi}{4} \leqq t \leqq \pi$ の範囲を動くときの曲線を $C_1$ とし、$y = f_1(x)$ ($0 \leqq x \leqq \alpha$) とする。 $t$ が $0 \leqq t \leqq \frac{\pi}{4}$ の範囲を動くときの曲線を $C_2$ とし、$y = f_2(x)$ ($1+e^\pi \leqq x \leqq \alpha$) とする。求める面積 $S$ は、曲線 $C_1$ と $x$ 軸、および曲線 $C_2$ と $x$ 軸で囲まれた図形を考慮すると、次のように表される。

$$ S = \int_{0}^{\alpha} f_1(x) dx - \int_{1+e^\pi}^{\alpha} f_2(x) dx $$

これを $t$ による積分に置換する。 $\int_{0}^{\alpha} f_1(x) dx$ は、$t$ が $\pi$ から $\frac{\pi}{4}$ まで変化するときの積分であるから、

$$ \int_{0}^{\alpha} f_1(x) dx = \int_{\pi}^{\frac{\pi}{4}} y \frac{dx}{dt} dt = - \int_{\frac{\pi}{4}}^{\pi} y \frac{dx}{dt} dt $$

$\int_{1+e^\pi}^{\alpha} f_2(x) dx$ は、$t$ が $0$ から $\frac{\pi}{4}$ まで変化するときの積分であるから、

$$ \int_{1+e^\pi}^{\alpha} f_2(x) dx = \int_{0}^{\frac{\pi}{4}} y \frac{dx}{dt} dt $$

したがって、面積 $S$ は以下のように1つの定積分にまとめられる。

$$ S = - \int_{\frac{\pi}{4}}^{\pi} y \frac{dx}{dt} dt - \int_{0}^{\frac{\pi}{4}} y \frac{dx}{dt} dt = - \int_{0}^{\pi} y \frac{dx}{dt} dt $$

具体的に関数を代入して計算を行う。

$$ \begin{aligned} S &= - \int_{0}^{\pi} e^t \sin t \cdot e^t (\cos t - \sin t) dt \\ &= \int_{0}^{\pi} e^{2t} (\sin^2 t - \sin t \cos t) dt \end{aligned} $$

半角の公式および2倍角の公式を用いて、被積分関数を変形する。

$$ \sin^2 t = \frac{1 - \cos 2t}{2}, \quad \sin t \cos t = \frac{\sin 2t}{2} $$

これらを代入する。

$$ \begin{aligned} S &= \int_{0}^{\pi} e^{2t} \left( \frac{1 - \cos 2t}{2} - \frac{\sin 2t}{2} \right) dt \\ &= \frac{1}{2} \int_{0}^{\pi} e^{2t} (1 - \cos 2t - \sin 2t) dt \end{aligned} $$

ここで、$e^{2t} (\cos 2t + \sin 2t)$ の積分を考える。関数 $\frac{1}{2} e^{2t} \sin 2t$ を $t$ で微分すると、積の微分法により以下のようになる。

$$ \left( \frac{1}{2} e^{2t} \sin 2t \right)' = e^{2t} \sin 2t + \frac{1}{2} e^{2t} \cdot 2\cos 2t = e^{2t} (\sin 2t + \cos 2t) $$

これを用いると、積分計算は次のように進められる。

$$ \begin{aligned} S &= \frac{1}{2} \left[ \frac{1}{2} e^{2t} - \frac{1}{2} e^{2t} \sin 2t \right]_{0}^{\pi} \\ &= \frac{1}{4} \left[ e^{2t} (1 - \sin 2t) \right]_{0}^{\pi} \\ &= \frac{1}{4} \left\{ e^{2\pi} (1 - \sin 2\pi) - e^0 (1 - \sin 0) \right\} \\ &= \frac{e^{2\pi} - 1}{4} \end{aligned} $$

解説

媒介変数表示された曲線の面積を求める典型的な問題である。まずは $x$ と $y$ の増減を調べ（面積だけなら $x$ の増減で十分）、曲線の概形を正確に捉えることが第一歩となる。

$x$ の増減から、曲線が折り返す形になっていることが分かるため、面積の立式では上の曲線から下の曲線の面積を引く形で表す必要がある。これを媒介変数 $t$ の積分に直すと、結果的に $t = 0$ から $t = \pi$ までの1つの積分区間に綺麗にまとまる。この「折り返しを含む面積積分が、媒介変数の1つの区間にまとまる」現象は、公式的に暗記するのではなく、増減表に基づく図形的な意味を考えて立式する習慣をつけることが望ましい。

積分計算においては、$e^{at} \cos bt$ や $e^{at} \sin bt$ の形が登場する。これらは部分積分を2回繰り返すことで求められるが、$(e^{2t} \sin 2t)'$ などの微分から逆算する形を見つけると、計算量を大幅に減らすことができる。