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東京工業大学 1994年理系第3問解説

方針・初手

(1) は指数関数と三角関数の積の積分である。部分積分を2回繰り返して同形を出現させるか、あらかじめ微分して被積分関数と同じ形になる関数を予想して逆算する典型的な手法を用いる。

(2) は被積分関数に絶対値がついているため、そのままでは積分できない。絶対値の中身の正負が切り替わる $\pi$ ごとに積分区間を分割し、各区間の積分を(1)の結果を用いて計算する。得られた等比数列の和の極限をとる。

解法1

(1)

求める定積分を $I$ とおく。

$$ I = \int_0^\pi e^{-x} \sin x \, dx $$

部分積分法を用いて計算する。

$$ \begin{aligned} I &= \left[ -e^{-x} \sin x \right]_0^\pi - \int_0^\pi (-e^{-x}) \cos x \, dx \\ &= 0 + \int_0^\pi e^{-x} \cos x \, dx \\ &= \left[ -e^{-x} \cos x \right]_0^\pi - \int_0^\pi (-e^{-x}) (-\sin x) \, dx \\ &= \left( e^{-\pi} - (-1) \right) - \int_0^\pi e^{-x} \sin x \, dx \\ &= e^{-\pi} + 1 - I \end{aligned} $$

したがって、$2I = 1 + e^{-\pi}$ となるので、

$$ I = \frac{1 + e^{-\pi}}{2} $$

を得る。

(2)

自然数 $n$ に対し、求める定積分を $J_n$ とおく。

$$ J_n = \int_0^{n\pi} e^{-x} |\sin x| \, dx $$

積分区間を幅 $\pi$ ごとに分割する。

$$ J_n = \sum_{k=0}^{n-1} \int_{k\pi}^{(k+1)\pi} e^{-x} |\sin x| \, dx $$

各区間の積分について、$x = t + k\pi$ と置換する。

$x$ が $k\pi$ から $(k+1)\pi$ まで変化するとき、$t$ は $0$ から $\pi$ まで変化する。また、$dx = dt$ であり、

$$ \begin{aligned} |\sin x| &= |\sin(t + k\pi)| \\ &= |(-1)^k \sin t| \\ &= |\sin t| \end{aligned} $$

となる。積分区間 $0 \le t \le \pi$ において $\sin t \ge 0$ であるから、$|\sin t| = \sin t$ である。

したがって、各区間の積分は次のように変形できる。

$$ \begin{aligned} \int_{k\pi}^{(k+1)\pi} e^{-x} |\sin x| \, dx &= \int_0^\pi e^{-(t+k\pi)} \sin t \, dt \\ &= e^{-k\pi} \int_0^\pi e^{-t} \sin t \, dt \\ &= e^{-k\pi} I \end{aligned} $$

これより、$J_n$ は次のように計算できる。

$$ \begin{aligned} J_n &= \sum_{k=0}^{n-1} e^{-k\pi} I \\ &= I \sum_{k=0}^{n-1} (e^{-\pi})^k \end{aligned} $$

これは初項 $I$、公比 $e^{-\pi}$ の等比数列の初項から第 $n$ 項までの和である。$e^{-\pi} \neq 1$ であるから、

$$ J_n = I \cdot \frac{1 - (e^{-\pi})^n}{1 - e^{-\pi}} $$

となる。

ここで $n \to \infty$ とすると、$0 < e^{-\pi} < 1$ より $(e^{-\pi})^n \to 0$ となる。

$$ \begin{aligned} \lim_{n \to \infty} J_n &= \frac{I}{1 - e^{-\pi}} \\ &= \frac{\frac{1 + e^{-\pi}}{2}}{1 - e^{-\pi}} \\ &= \frac{1 + e^{-\pi}}{2(1 - e^{-\pi})} \\ &= \frac{e^\pi + 1}{2(e^\pi - 1)} \end{aligned} $$

以上より、極限値が求まる。

解法2

(1)

積の微分法を用いて、あらかじめ微分形を用意する手法で解く。

$$ (e^{-x} \sin x)' = -e^{-x} \sin x + e^{-x} \cos x $$

$$ (e^{-x} \cos x)' = -e^{-x} \cos x - e^{-x} \sin x $$

上の2式の辺々を引き算すると、

$$ (e^{-x} \sin x)' - (e^{-x} \cos x)' = 2e^{-x} \sin x $$

すなわち、

$$ e^{-x} \sin x = \frac{1}{2} \{ e^{-x} (\sin x - \cos x) \}' $$

となる。したがって、求める定積分は

$$ \begin{aligned} \int_0^\pi e^{-x} \sin x \, dx &= \frac{1}{2} \left[ e^{-x} (\sin x - \cos x) \right]_0^\pi \\ &= \frac{1}{2} \left\{ e^{-\pi} (\sin \pi - \cos \pi) - e^0 (\sin 0 - \cos 0) \right\} \\ &= \frac{1}{2} \left\{ e^{-\pi} (0 - (-1)) - 1 \cdot (0 - 1) \right\} \\ &= \frac{1 + e^{-\pi}}{2} \end{aligned} $$

と求まる。

(2)

解法1と同様であるため省略する。

解説

指数関数と三角関数の積の積分、およびその絶対値付き積分の極限を求める標準的な問題である。

(1) は部分積分を用いて自分自身を出現させて方程式を立てる方法（解法1）か、微分の逆算を利用する方法（解法2）のいずれかで確実に正解したい。

(2) は絶対値を含む定積分の扱いの基本である。関数の正負が切り替わる周期（今回は $\pi$）ごとに積分区間を分割し、置換積分を用いて区間を平行移動することで、共通の定積分（今回は(1)の結果）をくくり出す。結果として公比が正で $1$ より小さい等比数列の無限級数の和に帰着する。この一連の流れは頻出であるため、計算ミスなく完答できる計算力を養っておきたい。