東京工業大学 2006年 理系 第4問 解説

方針・初手

(1) は頂点Aを始点とするベクトルを設定し、各中点の位置ベクトルを用いて計算を進める。 (2) は「すべての面が合同」という条件から、各面の3辺の長さの組み合わせがすべて同じになることを利用し、背理法を用いて対辺の長さが等しくなることを示す。 (3) は(2)の結果から、四面体ABCDが等面四面体（対辺の長さがそれぞれ等しい四面体）であることを利用し、直方体に埋め込んで全体の体積を求める。その後、中点連結定理や底面積・高さの比を用いて、求める四面体と全体との体積比を導く。

解法1

(1)

頂点Aを始点とし、$\overrightarrow{AB} = \vec{b}$, $\overrightarrow{AC} = \vec{c}$, $\overrightarrow{AD} = \vec{d}$ とおく。 K, L, M, N はそれぞれ辺AB, BC, CD, DA の中点であるから、各点の位置ベクトルは以下のようになる。

$$ \overrightarrow{AK} = \frac{1}{2}\vec{b}, \quad \overrightarrow{AL} = \frac{\vec{b}+\vec{c}}{2}, \quad \overrightarrow{AM} = \frac{\vec{c}+\vec{d}}{2}, \quad \overrightarrow{AN} = \frac{1}{2}\vec{d} $$

これらを用いて $\overrightarrow{MK}$ と $\overrightarrow{LN}$ を表すと、

$$ \begin{aligned} \overrightarrow{MK} &= \overrightarrow{AK} - \overrightarrow{AM} = \frac{1}{2}\vec{b} - \frac{\vec{c}+\vec{d}}{2} = \frac{\vec{b}-\vec{c}-\vec{d}}{2} \\ \overrightarrow{LN} &= \overrightarrow{AN} - \overrightarrow{AL} = \frac{1}{2}\vec{d} - \frac{\vec{b}+\vec{c}}{2} = \frac{\vec{d}-\vec{b}-\vec{c}}{2} \end{aligned} $$

よって、内積 $4\overrightarrow{MK} \cdot \overrightarrow{LN}$ を計算する。

$$ \begin{aligned} 4\overrightarrow{MK} \cdot \overrightarrow{LN} &= (\vec{b}-\vec{c}-\vec{d}) \cdot (\vec{d}-\vec{b}-\vec{c}) \\ &= -(\vec{b}-\vec{d}+\vec{c}) \cdot (\vec{b}-\vec{d}-\vec{c}) \\ &= - \{ |\vec{b}-\vec{d}|^2 - |\vec{c}|^2 \} \\ &= |\vec{c}|^2 - |\vec{d}-\vec{b}|^2 \end{aligned} $$

ここで、$\vec{c} = \overrightarrow{AC}$ より $|\vec{c}|^2 = |\overrightarrow{AC}|^2$ である。 また、$\vec{d}-\vec{b} = \overrightarrow{AD} - \overrightarrow{AB} = \overrightarrow{BD}$ より $|\vec{d}-\vec{b}|^2 = |\overrightarrow{BD}|^2$ である。 したがって、以下の等式が成り立つ。

$$ 4\overrightarrow{MK} \cdot \overrightarrow{LN} = |\overrightarrow{AC}|^2 - |\overrightarrow{BD}|^2 $$

(2)

四面体の4つの面がすべて合同であるから、ある1つの面の3辺の長さを $a, b, c$ とすると、4つの面はすべて3辺の長さが $a, b, c$ の三角形である。 四面体の辺は全体で6本あり、各辺は2つの面に共有されている。 4つの面の辺をすべて合計すると12本になり、その中に長さ $a, b, c$ はそれぞれ4回ずつ現れる。 したがって、共有されていることを考慮すると、実際の6本の辺の中には、長さ $a, b, c$ の辺がそれぞれ2本ずつ存在することになる。 この同じ長さの2本の辺が、常に互いに交わらない「対辺」の組であることを示す。

(i)

$a, b, c$ がすべて異なる場合 長さ $a$ の2本の辺が、ある頂点を共有すると仮定する。例えば $AB = AC = a$ とする。 このとき、面ABCは長さ $a$ の辺を2本持つことになる。 しかし、面ABCの3辺の長さは $a, b, c$ であり、すべて異なるため、長さ $a$ の辺は1本しか存在しない。これは矛盾である。 よって、長さ $a$ の2本の辺は頂点を共有せず、互いに対辺同士でなければならない。 同様に、長さ $b, c$ の辺についてもそれぞれ対辺となるため、対辺の長さはそれぞれ等しい。

（ii） 二等辺三角形の場合（例えば $a=b \neq c$） 各面の3辺の長さは $a, a, c$ である。6本の辺は、長さ $a$ が4本、長さ $c$ が2本となる。 長さ $c$ の2本の辺が頂点を共有すると仮定する。例えば $AB = AC = c$ とする。 すると面ABCは長さ $c$ の辺を2本持つことになるが、各面の辺は $a, a, c$ であり $c$ は1本しか存在しないため、矛盾する。 よって、長さ $c$ の2本の辺は対辺同士となる。（例えば $AC = BD = c$ など） 残りの4本の辺はすべて長さ $a$ であるから、それらの対辺同士の組も長さは等しい。

（iii） 正三角形の場合（$a=b=c$） 6本の辺はすべて長さが等しく、当然対辺の長さはそれぞれ等しい。

以上より、どの場合においても対辺の長さは等しくなる。したがって、以下のことが示された。

$$ |\overrightarrow{AC}| = |\overrightarrow{BD}|, \quad |\overrightarrow{BC}| = |\overrightarrow{AD}|, \quad |\overrightarrow{AB}| = |\overrightarrow{CD}| $$

(3)

(2)の結論より、四面体ABCDは対辺の長さが等しい等面四面体である。 等面四面体は、直方体の4つの頂点を結ぶことで構成できる。 直方体の3辺の長さを $x, y, z \ (x>0, y>0, z>0)$ とし、各面の対角線の長さが $\sqrt{3}, \sqrt{5}, \sqrt{6}$ となるように配置すると、三平方の定理より以下が成り立つ。

$$ \begin{cases} x^2 + y^2 = (\sqrt{3})^2 = 3 \\ y^2 + z^2 = (\sqrt{5})^2 = 5 \\ z^2 + x^2 = (\sqrt{6})^2 = 6 \end{cases} $$

辺々を加えると $2(x^2 + y^2 + z^2) = 14$ となり、$x^2 + y^2 + z^2 = 7$ を得る。 これと上の連立方程式から、以下の値が求まる。

$$ \begin{aligned} x^2 &= 7 - 5 = 2 \\ y^2 &= 7 - 6 = 1 \\ z^2 &= 7 - 3 = 4 \end{aligned} $$

したがって、$x=\sqrt{2}, y=1, z=2$ であり、この直方体の体積は $\sqrt{2} \times 1 \times 2 = 2\sqrt{2}$ である。 四面体ABCDは、この直方体から4つの直角三角錐（直方体の頂点を含む部分）を切り落としたものである。 1つの直角三角錐の体積は直方体の体積の $\frac{1}{6}$ であるから、四面体ABCDの体積を $V$ とすると、

$$ V = 2\sqrt{2} - 4 \times \left( \frac{1}{6} \times 2\sqrt{2} \right) = 2\sqrt{2} - \frac{4\sqrt{2}}{3} = \frac{2\sqrt{2}}{3} $$

次に、四面体PKLNの体積を求める。 $\triangle ABC$ において、K, L はそれぞれ辺AB, BCの中点であるから、中点連結定理より $KL \parallel AC$ である。 したがって、直線ACは平面KLNと平行である。 点Pと点Aはともに直線AC上の点であるから、平面KLNとの距離は等しい。これより、四面体PKLNと四面体AKLNの体積は等しい。

四面体AKLNの体積は、$\triangle AKN$ を底面、Lを頂点とみて考える。 K, N はそれぞれ辺AB, ADの中点であるから、$\triangle AKN$ の面積は $\triangle ABD$ の面積の $\frac{1}{4}$ である。 また、Lは辺BCの中点であるから、Lから平面ABDに下ろした垂線の長さは、Cから平面ABDに下ろした垂線の長さの $\frac{1}{2}$ である。 したがって、四面体AKLNの体積は、四面体ABCDの体積 $V$ の $\frac{1}{4} \times \frac{1}{2} = \frac{1}{8}$ 倍となる。

求める四面体PKLNの体積は、四面体AKLNの体積に等しいため、

$$ \frac{1}{8} V = \frac{1}{8} \times \frac{2\sqrt{2}}{3} = \frac{\sqrt{2}}{12} $$

解説

すべての面が合同な四面体は「等面四面体」と呼ばれ、対辺の長さが等しいことや、直方体に埋め込めることが強力な性質として知られている。 (2)では、図形的な直感に頼らず、「各辺は2つの面に共有される」という論理を使って、辺の長さの組み合わせから対辺が等しいことを証明する手法を取った。 (3)では、等面四面体を直方体に埋め込んで体積を計算する定番の解法を用いている。また、最後の体積比は行列式や外積を使って計算することも可能だが、中点連結定理を用いた等積変形と、底面積・高さの比の掛け合わせに持ち込む初等幾何的なアプローチが最も計算ミスの少ない方法である。

答え

(1)

$$ 4\overrightarrow{MK} \cdot \overrightarrow{LN} = |\overrightarrow{AC}|^2 - |\overrightarrow{BD}|^2 $$

(2)

対辺の長さはそれぞれ等しい。すなわち

$$ |\overrightarrow{AC}| = |\overrightarrow{BD}|,\quad |\overrightarrow{BC}| = |\overrightarrow{AD}|,\quad |\overrightarrow{AB}| = |\overrightarrow{CD}| $$

(3)

四面体 $PKLN$ の体積は

$$ \frac{\sqrt{2}}{12} $$