東京工業大学 2020年 理系 第4問 解説

方針・初手

斜軸回転体の体積を求める問題である。一般に斜軸回転体の体積は、回転軸に垂直な平面でスライスした断面積を積分して求めるが、本問は「傘型分割」（回転軸に垂直な線分によるスイープ）の誘導がついている。

（1） は、指定された線分 $PQ$ が直線 $l$ に垂直であることを把握し、線分を回転させてできる図形が円環（ドーナツ型）になることを見抜く。点と直線の距離の公式から内外の半径を求める。 （2） は、(1) で求めた円環の面積を足し合わせて体積を求める。このとき、単に $x$ で積分するのではなく、回転軸 $l$ に沿った微小な厚み $du$ を考慮する必要がある。

解法1

(1)

直線 $l: x+y=0$ は傾き $-1$ の直線である。 点 $P(x, \sin x)$ を通り $l$ に垂直な直線を $m$ とすると、$m$ の傾きは $1$ である。 直線 $m$ の方程式は、

$$ y - \sin x = 1 \cdot (X - x) \iff Y = X - x + \sin x $$

これが $x$ 軸（$Y=0$）と交わる点 $Q$ の $X$ 座標は、

$$ 0 = X - x + \sin x \iff X = x - \sin x $$

よって、$Q(x - \sin x, 0)$ である。

直線 $m$ と直線 $l$ の交点を $H$ とする。 線分 $PQ$ は直線 $m$ 上にあり $m \perp l$ であるから、線分 $PQ$ を $l$ の周りに $1$ 回転させてできる図形は、点 $H$ を中心とする円を $2$ つ組み合わせた円環（ドーナツ型）となる。 点 $P, Q$ から $l$ までの距離をそれぞれ $d_P, d_Q$ とすると、点と直線の距離の公式より、

$$ d_P = \frac{|x + \sin x|}{\sqrt{1^2 + 1^2}} = \frac{|x + \sin x|}{\sqrt{2}} $$

$$ d_Q = \frac{|x - \sin x + 0|}{\sqrt{2}} = \frac{|x - \sin x|}{\sqrt{2}} $$

ここで、$n$ は正の奇数であるから、区間 $(n-1)\pi \leqq x \leqq n\pi$ において $\sin x \geqq 0$ である。 また、$n \geqq 1$ より $x \geqq 0$ であり、$x \geqq 0$ において $x \geqq \sin x$ が成り立つ。 したがって $x + \sin x \geqq 0$ かつ $x - \sin x \geqq 0$ であるため、絶対値記号はそのまま外すことができて、

$$ d_P = \frac{x + \sin x}{\sqrt{2}}, \quad d_Q = \frac{x - \sin x}{\sqrt{2}} $$

$d_P \geqq d_Q$ であるから、外円の半径が $d_P$、内円の半径が $d_Q$ となる。 求める面積 $S(x)$ は、

$$ S(x) = \pi d_P^2 - \pi d_Q^2 = \pi \left( \frac{(x+\sin x)^2}{2} - \frac{(x-\sin x)^2}{2} \right) $$

$$ = \pi \cdot \frac{4x \sin x}{2} = 2\pi x \sin x $$

(2)

求める体積 $V_n$ は、(1) で求めた円環の面積 $S(x)$ に、回転軸 $l$ に沿った微小な厚み $du$ を掛けて積分することで得られる。 交点 $H$ の座標を求める。$H$ は $Y = -X$ と $Y = X - x + \sin x$ の交点であるから、

$$ -X = X - x + \sin x \iff X = \frac{x - \sin x}{2} $$

よって $H\left( \frac{x - \sin x}{2}, -\frac{x - \sin x}{2} \right)$ である。 $l$ に沿った座標軸 $u$ を、原点から右下方向を正としてとると、点 $H$ の $u$ 座標は、

$$ u = \sqrt{2} X_H = \frac{x - \sin x}{\sqrt{2}} $$

となる。$x$ が微小変化 $dx$ だけ増加したときの $u$ の増分（厚み）$du$ は、

$$ du = \frac{1}{\sqrt{2}} (1 - \cos x) dx $$

$x$ が $(n-1)\pi$ から $n\pi$ まで変化するとき、立体を過不足なく走査できるため、体積 $V_n$ は

$$ V_n = \int S(x) \, du = \int_{(n-1)\pi}^{n\pi} 2\pi x \sin x \cdot \frac{1 - \cos x}{\sqrt{2}} dx $$

$$ = \sqrt{2}\pi \int_{(n-1)\pi}^{n\pi} \left( x \sin x - x \sin x \cos x \right) dx $$

$$ = \sqrt{2}\pi \int_{(n-1)\pi}^{n\pi} \left( x \sin x - \frac{1}{2} x \sin 2x \right) dx $$

ここで、各項の定積分を部分積分を用いて計算する。

$$ \int x \sin x \, dx = -x \cos x + \int \cos x \, dx = -x \cos x + \sin x $$

$n$ は奇数であるから $\cos(n\pi) = -1, \cos((n-1)\pi) = 1, \sin(n\pi) = \sin((n-1)\pi) = 0$ となり、

$$ \int_{(n-1)\pi}^{n\pi} x \sin x \, dx = \left[ -x \cos x + \sin x \right]_{(n-1)\pi}^{n\pi} = -n\pi(-1) - \left( -(n-1)\pi \cdot 1 \right) = (2n-1)\pi $$

次に、もう一方の項を積分する。

$$ \int x \sin 2x \, dx = -x \frac{\cos 2x}{2} + \int \frac{\cos 2x}{2} \, dx = -\frac{x}{2} \cos 2x + \frac{1}{4} \sin 2x $$

$\cos(2n\pi) = \cos(2(n-1)\pi) = 1, \sin(2n\pi) = \sin(2(n-1)\pi) = 0$ より、

$$ \int_{(n-1)\pi}^{n\pi} x \sin 2x \, dx = \left[ -\frac{x}{2} \cos 2x + \frac{1}{4} \sin 2x \right]_{(n-1)\pi}^{n\pi} = -\frac{n\pi}{2} \cdot 1 - \left( -\frac{(n-1)\pi}{2} \cdot 1 \right) = -\frac{\pi}{2} $$

以上を $V_n$ の式に代入して、

$$ V_n = \sqrt{2}\pi \left( (2n-1)\pi - \frac{1}{2} \left(-\frac{\pi}{2}\right) \right) = \sqrt{2}\pi \left( 2n\pi - \pi + \frac{\pi}{4} \right) = \frac{\sqrt{2}(8n-3)}{4}\pi^2 $$

解法2

(2)の別解（二重積分を用いた計算）

本問の要求「(1)の結果を用いて」からは外れるため、検算や別解としての位置づけとなるが、斜軸回転体の体積はパップス・ギュルダンの定理の積分形（微小面積の回転）を用いて直接求めることもできる。 領域 $D_n$ 内の点 $(x,y)$ の微小面積 $dx dy$ を $l$ の周りに回転させた微小体積 $dV$ は、点 $(x,y)$ と $l$ の距離を $v = \frac{x+y}{\sqrt{2}}$ とすると、$dV = 2\pi v \, dx dy$ となる。 したがって、体積 $V_n$ は以下の二重積分で計算できる。

$$ V_n = \iint_{D_n} 2\pi \frac{x+y}{\sqrt{2}} \, dx dy = \sqrt{2}\pi \int_{(n-1)\pi}^{n\pi} dx \int_{0}^{\sin x} (x+y) \, dy $$

$y$ について積分すると、

$$ V_n = \sqrt{2}\pi \int_{(n-1)\pi}^{n\pi} \left[ xy + \frac{y^2}{2} \right]_{0}^{\sin x} dx = \sqrt{2}\pi \int_{(n-1)\pi}^{n\pi} \left( x \sin x + \frac{1}{2} \sin^2 x \right) dx $$

ここで $\sin^2 x = \frac{1 - \cos 2x}{2}$ を用いて定積分を計算する。

$$ \int_{(n-1)\pi}^{n\pi} x \sin x \, dx = (2n-1)\pi \quad \text{（解法1と同様）} $$

$$ \int_{(n-1)\pi}^{n\pi} \frac{1}{2} \sin^2 x \, dx = \frac{1}{4} \int_{(n-1)\pi}^{n\pi} (1 - \cos 2x) \, dx = \frac{1}{4} \left[ x - \frac{\sin 2x}{2} \right]_{(n-1)\pi}^{n\pi} = \frac{\pi}{4} $$

これらを足し合わせて、

$$ V_n = \sqrt{2}\pi \left( (2n-1)\pi + \frac{\pi}{4} \right) = \frac{\sqrt{2}(8n-3)}{4}\pi^2 $$

解法1と一致することが確認できる。

解説

斜軸回転体の体積を求める定石には、大きく分けて「回転軸に垂直な平面で切断する手法」と「傘型分割（バウムクーヘン積分の斜め版）」の2つがある。本問は後者の強力な誘導となっており、(1)で求めた $S(x)$ は、分割した円環の面積に相当する。

受験生が最も詰まりやすいのは、(2)において「$\int S(x) \, dx$」と単純に立式してしまうミスである。積分する方向は $x$ 軸ではなく、あくまで回転軸 $l$ の方向であるため、$l$ に沿った微小な厚み $du$ に変換して $\int S(x) \, du$ としなければならない。

解法2で示した二重積分によるアプローチは、斜軸回転体の体積を考える上で汎用性が高く、積分変数の変換ミスを防ぐための強力な検算手段となる。

答え

(1)

$$ 2\pi x \sin x $$

(2)

$$ V_n = \frac{\sqrt{2}(8n-3)}{4}\pi^2 $$