東京工業大学 2023年 理系 第1問 解説

方針・初手

定積分の値を直接求めることは難しいため、被積分関数をより簡単な関数で上と下から評価し、積分値のとりうる範囲を絞り込む。

整数部分を求める問題なので、積分値を $I$ としたとき、$n < I < n+1$ を満たす整数 $n$ を見つけることが目標となる。被積分関数の分母 $x+e^x$ において、指数関数 $e^x$ が $x$ に比べて非常に速く増加するという性質を手がかりに、積分可能な関数を用いた不等式を作成する。

解法1

求める定積分を $I$ とおく。

$$ I = \int_0^{2023} \frac{2}{x+e^x} dx $$

被積分関数 $f(x) = \frac{2}{x+e^x}$ について、積分区間である $x \ge 0$ の範囲で不等式評価を行う。

(1) 上限の評価

$x \ge 0$ においては、明らかに以下が成り立つ。

$$ x+e^x \ge e^x $$

等号成立は $x=0$ のときのみである。各辺は正であるから、逆数をとると大小関係が反転し、

$$ \frac{2}{x+e^x} \le \frac{2}{e^x} = 2e^{-x} $$

となる。積分区間 $0 \le x \le 2023$ において、この不等式の両辺を積分する。常に等号が成り立つわけではないため、定積分においても狭義の不等号が成立し、

$$ I < \int_0^{2023} 2e^{-x} dx $$

が得られる。右辺の積分を計算すると、

$$ \int_0^{2023} 2e^{-x} dx = \left[ -2e^{-x} \right]_0^{2023} = -2e^{-2023} - (-2e^0) = 2 - 2e^{-2023} $$

となる。ここで $2e^{-2023} > 0$ であるため、

$$ I < 2 - 2e^{-2023} < 2 $$

となる。これにより、$I < 2$ が示された。

(2) 下限の評価

次に、$x \ge 0$ において $e^x \ge x+1$ が成り立つことを用いて下から評価する。念のため、この不等式を証明する。

$g(x) = e^x - (x+1)$ とおくと、$g'(x) = e^x - 1$ である。 $x > 0$ においては $e^x > 1$ であるから $g'(x) > 0$ となり、$g(x)$ は単調増加する。 $g(0) = e^0 - 1 = 0$ であるため、$x \ge 0$ において $g(x) \ge 0$、すなわち $e^x \ge x+1$ が成り立つ（等号成立は $x=0$ のとき）。

この不等式を移項すると、$x \le e^x - 1$ となる。両辺に $e^x$ を加えると、

$$ x+e^x \le 2e^x - 1 $$

$x \ge 0$ において $2e^x - 1 \ge 2e^0 - 1 = 1 > 0$ であり、$x+e^x > 0$ であるから、逆数をとると、

$$ \frac{2}{x+e^x} \ge \frac{2}{2e^x - 1} $$

が成り立つ。上限の評価と同様に両辺を積分すると、

$$ I > \int_0^{2023} \frac{2}{2e^x - 1} dx $$

が得られる。右辺の積分を計算する。被積分関数の分母と分子に $e^{-x}$ を掛けると、

$$ \int_0^{2023} \frac{2}{2e^x - 1} dx = \int_0^{2023} \frac{2e^{-x}}{2 - e^{-x}} dx $$

となる。ここで、分母を微分すると $(2 - e^{-x})' = e^{-x}$ になることに着目すると、

$$ \int_0^{2023} \frac{2e^{-x}}{2 - e^{-x}} dx = \left[ 2 \log (2 - e^{-x}) \right]_0^{2023} = 2 \log (2 - e^{-2023}) - 2 \log (2 - 1) = 2 \log (2 - e^{-2023}) $$

となる。この値が $1$ より大きいことを示す。

$2 \log (2 - e^{-2023}) > 1$ は、両辺を対数の形で比較すると $\log (2 - e^{-2023})^2 > \log e$、すなわち $(2 - e^{-2023})^2 > e$ と同値である。 自然対数の底 $e$ は $e > 2$ を満たすので、$e^{2023} > 2^{2023} > 4$ となり、$e^{-2023} < \frac{1}{4}$ である。これより、

$$ 2 - e^{-2023} > 2 - \frac{1}{4} = \frac{7}{4} $$

両辺は正であるから平方して、

$$ (2 - e^{-2023})^2 > \left(\frac{7}{4}\right)^2 = \frac{49}{16} = 3.0625 $$

ここで、$e < 3$ であるから、$3.0625 > 3 > e$ となり、

$$ (2 - e^{-2023})^2 > e $$

が成り立つ。したがって、$\log (2 - e^{-2023})^2 > \log e = 1$ であり、

$$ I > 1 $$

が示された。

(3) 結論

(1) と (2) の結果から、

$$ 1 < I < 2 $$

が成り立つ。したがって、定積分 $I$ の値は $1. \cdots$ となるため、その整数部分は $1$ である。

解説

定積分の値を直接計算できない場合に、被積分関数を積分可能な関数で挟み撃ちにして評価する典型問題である。

上限の評価 $x+e^x \ge e^x$ は思いつきやすいが、下限の評価で「積分値が $1$ より大きいこと」を示すための不等式づくりが最大の山場となる。$e^x \ge x+1$ という基本的な不等式（$y=e^x$ とその $x=0$ における接線 $y=x+1$ の上下関係）を用いて分母の $x$ を消去し、$x+e^x \le 2e^x - 1$ と評価することで、容易に積分可能な形を作り出せるかどうかが鍵であった。

また、最後の $\log$ の値の評価において、$e$ のおおよその値（$2.718\cdots$）に基づく $e<3$ などの基本知識を正しく適用し、厳密に大小関係を論証する力も求められる。

答え

$1$