東京大学 1990年 理系 第1問 解説

方針・初手

和 $a_n$、$b_n$ は具体的な式として閉じた形（シグマを使わない形）で求めることができない。このような場合は、関数 $y = \frac{1}{\sqrt{x}}$ や $y = \frac{1}{\sqrt{2x+1}}$ の単調減少性を利用して、長方形の面積と定積分の大小関係から不等式を作り、はさみうちの原理を用いるのが定石である。

解法1

関数 $f(x) = \frac{1}{\sqrt{x}}$ は $x > 0$ において単調減少である。 自然数 $k$ に対して、$k \leqq x \leqq k+1$ の範囲で積分を考えると、長方形の面積との比較により次の不等式が成り立つ。

$$ \int_{k}^{k+1} \frac{1}{\sqrt{x}} dx < \frac{1}{\sqrt{k}} $$

この不等式において、$k=1, 2, \dots, n$ としたものを辺々足し合わせると、

$$ \sum_{k=1}^{n} \int_{k}^{k+1} x^{-\frac{1}{2}} dx < \sum_{k=1}^{n} \frac{1}{\sqrt{k}} $$

$$ \int_{1}^{n+1} x^{-\frac{1}{2}} dx < a_n $$

左辺の定積分を計算すると、

$$ \left[ 2\sqrt{x} \right]_{1}^{n+1} = 2\sqrt{n+1} - 2 $$

となるため、次の不等式を得る。

$$ 2\sqrt{n+1} - 2 < a_n $$

ここで、$\lim_{n \to \infty} (2\sqrt{n+1} - 2) = \infty$ であるから、追い出しの原理により、

$$ \lim_{n \to \infty} a_n = \infty $$

次に、$b_n$ および $a_n$ の上からの評価も行い、$\frac{b_n}{a_n}$ の極限を調べる。 関数 $g(x) = \frac{1}{\sqrt{2x+1}}$ は $x \geqq 0$ において単調減少である。 $k-1 \leqq x \leqq k$ のとき、$\frac{1}{\sqrt{2k+1}} < g(x)$ であり、積分すると、

$$ \frac{1}{\sqrt{2k+1}} < \int_{k-1}^{k} \frac{1}{\sqrt{2x+1}} dx $$

これを $k=1, 2, \dots, n$ について辺々足し合わせると、

$$ b_n < \sum_{k=1}^{n} \int_{k-1}^{k} \frac{1}{\sqrt{2x+1}} dx = \int_{0}^{n} (2x+1)^{-\frac{1}{2}} dx $$

$$ b_n < \left[ \sqrt{2x+1} \right]_{0}^{n} = \sqrt{2n+1} - 1 $$

また、$k \leqq x \leqq k+1$ のとき、$g(x) < \frac{1}{\sqrt{2k+1}}$ であり、積分すると、

$$ \int_{k}^{k+1} \frac{1}{\sqrt{2x+1}} dx < \frac{1}{\sqrt{2k+1}} $$

これを $k=1, 2, \dots, n$ について辺々足し合わせると、

$$ \sum_{k=1}^{n} \int_{k}^{k+1} \frac{1}{\sqrt{2x+1}} dx < b_n $$

$$ \int_{1}^{n+1} (2x+1)^{-\frac{1}{2}} dx < b_n $$

$$ \left[ \sqrt{2x+1} \right]_{1}^{n+1} < b_n $$

$$ \sqrt{2n+3} - \sqrt{3} < b_n $$

以上より、$b_n$ についての不等式を得る。

$$ \sqrt{2n+3} - \sqrt{3} < b_n < \sqrt{2n+1} - 1 $$

同様にして、$a_n$ についても上からの評価を行う。 $x > 0$ において $f(x) = \frac{1}{\sqrt{x}}$ は単調減少であるから、$k \geqq 2$ に対して $k-1 \leqq x \leqq k$ のとき、

$$ \frac{1}{\sqrt{k}} < \int_{k-1}^{k} \frac{1}{\sqrt{x}} dx $$

これを $k=2, 3, \dots, n$ について辺々足し合わせると、

$$ \sum_{k=2}^{n} \frac{1}{\sqrt{k}} < \int_{1}^{n} x^{-\frac{1}{2}} dx $$

$$ a_n - 1 < \left[ 2\sqrt{x} \right]_{1}^{n} = 2\sqrt{n} - 2 $$

$$ a_n < 2\sqrt{n} - 1 $$

先に求めた下からの評価と合わせて、$a_n$ についての不等式を得る。

$$ 2\sqrt{n+1} - 2 < a_n < 2\sqrt{n} - 1 $$

すべての自然数 $n$ において $a_n > 0$ であるから、$b_n$ の不等式の各辺を $a_n$ で割る際、不等式の関係から右辺は $a_n$ の最も小さい評価式で、左辺は $a_n$ の最も大きい評価式で割ることで成り立つ。すなわち、

$$ \frac{\sqrt{2n+3} - \sqrt{3}}{2\sqrt{n} - 1} < \frac{b_n}{a_n} < \frac{\sqrt{2n+1} - 1}{2\sqrt{n+1} - 2} $$

ここで、最左辺と最右辺の $n \to \infty$ における極限を求める。分母分子を $\sqrt{n}$ で割ると、

$$ \lim_{n \to \infty} \frac{\sqrt{2n+3} - \sqrt{3}}{2\sqrt{n} - 1} = \lim_{n \to \infty} \frac{\sqrt{2 + \frac{3}{n}} - \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{n}}}{2 - \frac{1}{\sqrt{n}}} = \frac{\sqrt{2}}{2} $$

$$ \lim_{n \to \infty} \frac{\sqrt{2n+1} - 1}{2\sqrt{n+1} - 2} = \lim_{n \to \infty} \frac{\sqrt{2 + \frac{1}{n}} - \frac{1}{\sqrt{n}}}{2\sqrt{1 + \frac{1}{n}} - \frac{2}{\sqrt{n}}} = \frac{\sqrt{2}}{2} $$

両端の極限が一致するため、はさみうちの原理により、

$$ \lim_{n \to \infty} \frac{b_n}{a_n} = \frac{\sqrt{2}}{2} $$

解説

具体的な計算ができない和 $\sum f(k)$ の極限を考える際の典型問題である。「関数 $f(x)$ の単調減少性を利用し、積分を用いて面積比較による不等式を作る」という手法を用いる。単調減少関数において、

$$ \int_{k}^{k+1} f(x) dx < f(k) < \int_{k-1}^{k} f(x) dx $$

という評価式を立て、辺々加えることで $\sum f(k)$ を上下から積分値で挟み込む。その後は基本通りに、はさみうちの原理を適用して極限値を求める。評価の際に端点（$k=1$ など）で $f(x)$ が発散しないように注意して足し合わせの範囲を調整することがポイントである。

答え

$$ \lim_{n \to \infty} a_n = \infty, \quad \lim_{n \to \infty} \frac{b_n}{a_n} = \frac{\sqrt{2}}{2} $$