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東京工業大学 1964年理系第6問解説

方針・初手

(1) は定積分の値と区分求積法の右端の長方形近似との誤差に $n$ を掛けたものの極限を求める問題です。$f(x)$ が3次式と具体的に与えられているため、定積分とシグマ計算をそれぞれ実行し、極限を直接計算するのが確実です。

(2) は微分の定義式に関連する極限です。与えられた式をそのまま展開・計算して $h$ でくくる方法と、$f(x)$ を $x=1$ の周りで展開（テイラー展開）して考える方法があります。

解法1

(1) まず、定積分の部分を計算する。

$$ \int_0^1 f(x) dx = \int_0^1 (x^3 + ax^2 + bx + c) dx $$

$$ = \left[ \frac{1}{4}x^4 + \frac{a}{3}x^3 + \frac{b}{2}x^2 + cx \right]_0^1 = \frac{1}{4} + \frac{a}{3} + \frac{b}{2} + c $$

次に、シグマの部分を計算する。

$$ \frac{1}{n} \sum_{k=1}^n f\left(\frac{k}{n}\right) = \frac{1}{n} \sum_{k=1}^n \left( \frac{k^3}{n^3} + a\frac{k^2}{n^2} + b\frac{k}{n} + c \right) $$

$$ = \frac{1}{n^4}\sum_{k=1}^n k^3 + \frac{a}{n^3}\sum_{k=1}^n k^2 + \frac{b}{n^2}\sum_{k=1}^n k + \frac{c}{n}\sum_{k=1}^n 1 $$

公式 $\sum_{k=1}^n k^3 = \frac{n^2(n+1)^2}{4}$、$\sum_{k=1}^n k^2 = \frac{n(n+1)(2n+1)}{6}$、$\sum_{k=1}^n k = \frac{n(n+1)}{2}$ を用いると、

$$ \frac{1}{n} \sum_{k=1}^n f\left(\frac{k}{n}\right) = \frac{n^2(n+1)^2}{4n^4} + a\frac{n(n+1)(2n+1)}{6n^3} + b\frac{n(n+1)}{2n^2} + c $$

$$ = \frac{1}{4} \left(1+\frac{1}{n}\right)^2 + \frac{a}{6} \left(1+\frac{1}{n}\right)\left(2+\frac{1}{n}\right) + \frac{b}{2} \left(1+\frac{1}{n}\right) + c $$

極限を計算する式に代入するため、展開して $\frac{1}{n}$ の次数で整理する。

$$ \frac{1}{4} \left(1+\frac{1}{n}\right)^2 = \frac{1}{4} + \frac{1}{2n} + \frac{1}{4n^2} $$

$$ \frac{a}{6} \left(1+\frac{1}{n}\right)\left(2+\frac{1}{n}\right) = \frac{a}{6} \left(2 + \frac{3}{n} + \frac{1}{n^2}\right) = \frac{a}{3} + \frac{a}{2n} + \frac{a}{6n^2} $$

$$ \frac{b}{2} \left(1+\frac{1}{n}\right) = \frac{b}{2} + \frac{b}{2n} $$

したがって、

$$ \frac{1}{n} \sum_{k=1}^n f\left(\frac{k}{n}\right) = \left(\frac{1}{4} + \frac{a}{3} + \frac{b}{2} + c\right) + \frac{1}{n}\left(\frac{1}{2} + \frac{a}{2} + \frac{b}{2}\right) + \frac{1}{n^2}\left(\frac{1}{4} + \frac{a}{6}\right) $$

よって、中括弧の中身は、

$$ \int_0^1 f(x) dx - \frac{1}{n} \sum_{k=1}^n f\left(\frac{k}{n}\right) = - \frac{1}{n}\left(\frac{1+a+b}{2}\right) - \frac{1}{n^2}\left(\frac{3+2a}{12}\right) $$

これに $n$ を掛けて極限をとる。

$$ \lim_{n \to \infty} n \left\{ \int_0^1 f(x) dx - \frac{1}{n} \sum_{k=1}^n f\left(\frac{k}{n}\right) \right\} = \lim_{n \to \infty} \left\{ - \frac{1+a+b}{2} - \frac{1}{n}\left(\frac{3+2a}{12}\right) \right\} = - \frac{1+a+b}{2} $$

(2) $f(x) = x^3 + ax^2 + bx + c$ より、導関数は $f'(x) = 3x^2 + 2ax + b$ である。したがって、$x=1$ における微分係数は $f'(1) = 3 + 2a + b$ となる。

次に、$f(1+h)$ を計算する。

$$ f(1+h) = (1+h)^3 + a(1+h)^2 + b(1+h) + c $$

$$ = (1 + 3h + 3h^2 + h^3) + a(1 + 2h + h^2) + b(1+h) + c $$

$$ = (1+a+b+c) + (3+2a+b)h + (3+a)h^2 + h^3 $$

ここで、$f(1) = 1+a+b+c$ であり、$f'(1) = 3+2a+b$ であるから、

$$ f(1+h) = f(1) + f'(1)h + (3+a)h^2 + h^3 $$

と表せる。これを極限の式に代入する。

$$ \frac{f(1+h) - f(1)}{h} = f'(1) + (3+a)h + h^2 $$

$$ \frac{f(1+h) - f(1)}{h} - f'(1) = (3+a)h + h^2 $$

よって、求める極限は、

$$ \lim_{h \to 0} \frac{1}{h} \left\{ \frac{f(1+h) - f(1)}{h} - f'(1) \right\} = \lim_{h \to 0} \frac{1}{h} \left\{ (3+a)h + h^2 \right\} $$

$$ = \lim_{h \to 0} (3 + a + h) = 3 + a $$

解法2

(2) 関数 $f(x)$ を $x=1$ の周りで展開（テイラー展開）することを考える。 $f(x)$ は3次多項式であるから、次のように展開できる。

$$ f(1+h) = f(1) + f'(1)h + \frac{f''(1)}{2!}h^2 + \frac{f'''(1)}{3!}h^3 $$

これを与式の分子に代入すると、

$$ \frac{f(1+h) - f(1)}{h} = f'(1) + \frac{f''(1)}{2}h + \frac{f'''(1)}{6}h^2 $$

$$ \frac{f(1+h) - f(1)}{h} - f'(1) = \frac{f''(1)}{2}h + \frac{f'''(1)}{6}h^2 $$

これを $h$ で割ると、

$$ \frac{1}{h} \left\{ \frac{f(1+h) - f(1)}{h} - f'(1) \right\} = \frac{f''(1)}{2} + \frac{f'''(1)}{6}h $$

となる。したがって、$h \to 0$ としたときの極限は $\frac{f''(1)}{2}$ である。

$f(x) = x^3 + ax^2 + bx + c$ より、 $f'(x) = 3x^2 + 2ax + b$ $f''(x) = 6x + 2a$ であるから、$f''(1) = 6 + 2a$ を得る。

よって、求める極限は、

$$ \frac{f''(1)}{2} = \frac{6+2a}{2} = 3+a $$

解説

(1) は、区分求積法の右端近似 $\frac{1}{n}\sum_{k=1}^n f\left(\frac{k}{n}\right)$ と定積分 $\int_0^1 f(x)dx$ の差が $O\left(\frac{1}{n}\right)$ となることを具体的に計算させる問題です。$n$ を掛けて極限をとるため、$n$ の1次式（$\frac{1}{n}$ の項）の係数がそのまま極限値として残ります。計算ミスを防ぐため、シグマ計算の結果を $\frac{1}{n}$ で整理することがポイントです。

(2) は、2階微分の定義に関連しています。解法2で示した通り、一般の2回微分可能な関数において、$\lim_{h \to 0} \frac{f(1+h) - f(1) - h f'(1)}{h^2} = \frac{f''(1)}{2}$ となる性質を背景としています。計算自体は解法1のように多項式を展開して直接極限を求める手法も汎用性が高く、確実なアプローチです。