東京大学 1967年 文系 第2問 解説

方針・初手

点 $P$ の座標を $(x,y)$ とおき、与えられた条件を数式で表す。点から円に引いた接線の長さは、直角三角形に対する三平方の定理を用いて、点と円の中心との距離および円の半径から求めることができる。

解法1

点 $P$ の座標を $(x,y)$ とおく。 円 $A$, $B$, $C$ の半径はすべて $1$ であるから、それぞれの方程式は以下のようになる。

$$ \begin{cases} x^2 + y^2 = 1 & \cdots \text{円} A \\ (x - 2\sqrt{3})^2 + y^2 = 1 & \cdots \text{円} B \\ (x - \sqrt{3})^2 + (y - 3)^2 = 1 & \cdots \text{円} C \end{cases} $$

条件(1)より、点 $P$ は円 $A, B, C$ のすべての外部にあるため、以下の不等式が成り立つ。

$$ \begin{cases} x^2 + y^2 > 1 \\ (x - 2\sqrt{3})^2 + y^2 > 1 \\ (x - \sqrt{3})^2 + (y - 3)^2 > 1 \end{cases} $$

次に条件(2)について考える。 点 $P$ から円 $A$ に引いた接線の接点が $R$ であるから、$\triangle PAR$ は $\angle PRA = 90^\circ$ の直角三角形である。 三平方の定理より、$PR^2 + AR^2 = PA^2$ が成り立ち、$AR = 1$ であるから、

$$ PR^2 = PA^2 - 1 $$

同様に、点 $P$ から円 $B$, $C$ に引いた接線についても、

$$ PS^2 = PB^2 - 1 $$

$$ PT^2 = PC^2 - 1 $$

が成り立つ。これらを条件(2)の不等式に代入する。

$$ (PA^2 - 1) + (PB^2 - 1) + (PC^2 - 1) < 36 $$

$$ PA^2 + PB^2 + PC^2 < 39 $$

ここで、$PA^2, PB^2, PC^2$ を座標を用いて表すと、

$$ PA^2 = x^2 + y^2 $$

$$ PB^2 = (x - 2\sqrt{3})^2 + y^2 = x^2 - 4\sqrt{3}x + 12 + y^2 $$

$$ PC^2 = (x - \sqrt{3})^2 + (y - 3)^2 = x^2 - 2\sqrt{3}x + 3 + y^2 - 6y + 9 = x^2 - 2\sqrt{3}x + y^2 - 6y + 12 $$

これらを足し合わせると、

$$ PA^2 + PB^2 + PC^2 = 3x^2 + 3y^2 - 6\sqrt{3}x - 6y + 24 $$

これが $39$ より小さいので、

$$ 3x^2 + 3y^2 - 6\sqrt{3}x - 6y + 24 < 39 $$

両辺を $3$ で割り、平方完成して整理する。

$$ x^2 + y^2 - 2\sqrt{3}x - 2y + 8 < 13 $$

$$ (x - \sqrt{3})^2 - 3 + (y - 1)^2 - 1 + 8 < 13 $$

$$ (x - \sqrt{3})^2 + (y - 1)^2 < 9 $$

この不等式が表す領域は、点 $G(\sqrt{3}, 1)$ を中心とする半径 $3$ の円（これを円 $K$ とする）の内部である。

ここで、円 $K$ と円 $A, B, C$ の位置関係を調べる。 中心 $G(\sqrt{3}, 1)$ と各円の中心 $A, B, C$ との距離を求める。

$$ GA = \sqrt{(\sqrt{3} - 0)^2 + (1 - 0)^2} = \sqrt{3 + 1} = 2 $$

$$ GB = \sqrt{(\sqrt{3} - 2\sqrt{3})^2 + (1 - 0)^2} = \sqrt{3 + 1} = 2 $$

$$ GC = \sqrt{(\sqrt{3} - \sqrt{3})^2 + (1 - 3)^2} = \sqrt{0 + 4} = 2 $$

いずれの距離も $2$ であり、円 $K$ の半径 $3$ と円 $A, B, C$ の半径 $1$ の差（$3 - 1 = 2$）に等しい。したがって、円 $A, B, C$ はすべて円 $K$ に内接している。

また、円 $A, B, C$ の中心間の距離を求める。

$$ AB = 2\sqrt{3} $$

$$ BC = \sqrt{(\sqrt{3} - 2\sqrt{3})^2 + (3 - 0)^2} = \sqrt{3 + 9} = 2\sqrt{3} $$

$$ CA = \sqrt{(\sqrt{3} - 0)^2 + (3 - 0)^2} = \sqrt{3 + 9} = 2\sqrt{3} $$

中心間の距離はすべて $2\sqrt{3}$ であり、半径の和 $1 + 1 = 2$ より大きい（$2\sqrt{3} = \sqrt{12} > \sqrt{4} = 2$）。したがって、円 $A, B, C$ は互いに外部にある（交わらない）。

以上より、点 $P$ の存在する範囲は、円 $K$ の内部から、円 $A$, 円 $B$, 円 $C$ の周および内部を除いた部分である。

求める面積 $S$ は、円 $K$ の面積から円 $A, B, C$ の面積を引いたものになる。

$$ S = \pi \cdot 3^2 - 3 \times (\pi \cdot 1^2) = 9\pi - 3\pi = 6\pi $$

解法2

$\triangle ABC$ の重心を $G$ とすると、その座標は、

$$ \left( \frac{0 + 2\sqrt{3} + \sqrt{3}}{3}, \frac{0 + 0 + 3}{3} \right) = (\sqrt{3}, 1) $$

となる。条件(2)の不等式に現れる接線の長さの2乗は、解法1と同様に $PR^2 = PA^2 - 1$ などと表せるので、条件(2)は次のように書き換えられる。

$$ PA^2 + PB^2 + PC^2 < 39 $$

ここで、点 $A, B, C, P$ の位置ベクトルをそれぞれ $\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}, \vec{p}$ とし、重心 $G$ の位置ベクトルを $\vec{g}$ とする。

$$ PA^2 + PB^2 + PC^2 = |\vec{p} - \vec{a}|^2 + |\vec{p} - \vec{b}|^2 + |\vec{p} - \vec{c}|^2 $$

$$ = |\vec{p} - \vec{g} + \vec{g} - \vec{a}|^2 + |\vec{p} - \vec{g} + \vec{g} - \vec{b}|^2 + |\vec{p} - \vec{g} + \vec{g} - \vec{c}|^2 $$

$$ = 3|\vec{p} - \vec{g}|^2 + |\vec{g} - \vec{a}|^2 + |\vec{g} - \vec{b}|^2 + |\vec{g} - \vec{c}|^2 + 2(\vec{p} - \vec{g}) \cdot \{(\vec{g} - \vec{a}) + (\vec{g} - \vec{b}) + (\vec{g} - \vec{c})\} $$

$G$ は $\triangle ABC$ の重心であるから、$(\vec{g} - \vec{a}) + (\vec{g} - \vec{b}) + (\vec{g} - \vec{c}) = \vec{0}$ となる。また、$|\vec{g} - \vec{a}|^2 = GA^2$ などであるから、

$$ PA^2 + PB^2 + PC^2 = 3PG^2 + GA^2 + GB^2 + GC^2 $$

重心 $G(\sqrt{3}, 1)$ と各頂点の距離の2乗を計算する。

$$ GA^2 = (\sqrt{3} - 0)^2 + (1 - 0)^2 = 4 $$

$$ GB^2 = (\sqrt{3} - 2\sqrt{3})^2 + (1 - 0)^2 = 4 $$

$$ GC^2 = (\sqrt{3} - \sqrt{3})^2 + (1 - 3)^2 = 4 $$

これらを代入すると、

$$ PA^2 + PB^2 + PC^2 = 3PG^2 + 12 $$

したがって、条件(2)の不等式は次のように変形できる。

$$ 3PG^2 + 12 < 39 $$

$$ 3PG^2 < 27 $$

$$ PG^2 < 9 $$

$PG > 0$ より、$PG < 3$ となる。 これは、点 $P$ が点 $G(\sqrt{3}, 1)$ を中心とする半径 $3$ の円（これを円 $K$ とする）の内部にあることを示している。

点 $G$ は各円 $A, B, C$ の中心からの距離が $2$ であり、これは円 $K$ の半径 $3$ と円 $A, B, C$ の半径 $1$ の差に等しいため、円 $A, B, C$ はすべて円 $K$ に内接する。 さらに、$\triangle ABC$ は一辺の長さが $2\sqrt{3}$ の正三角形であり、中心間の距離 $2\sqrt{3}$ は半径の和 $2$ より大きいため、円 $A, B, C$ は互いに外部にある。

条件(1)より、点 $P$ は円 $A, B, C$ の外部にあるため、求める範囲は円 $K$ の内部から円 $A, B, C$ の周および内部を除いた領域である。

求める面積 $S$ は、

$$ S = \pi \cdot 3^2 - 3 \times (\pi \cdot 1^2) = 9\pi - 3\pi = 6\pi $$

解説

接線の長さを中心と点の距離および半径を用いて表すこと（三平方の定理の利用）が第一歩である。 $PA^2 + PB^2 + PC^2$ のような2乗の和の式が現れた場合、座標を直接代入して計算する（解法1）以外にも、重心などの基準点を設けてベクトルで処理する（解法2）ことで、計算量を大幅に減らすことができる。これは図形問題における典型的な手法である。 最後に、求まった領域の中に元の3つの円がどのように配置されているか（内接・交差の有無）を確認し、面積から正しく引く論理的配慮が求められる。

答え

点 $P$ の存在する範囲は、点 $(\sqrt{3}, 1)$ を中心とする半径 $3$ の円の内部から、点 $(0,0), (2\sqrt{3},0), (\sqrt{3},3)$ をそれぞれ中心とする半径 $1$ の $3$ つの円の周および内部を除いた部分である。 その面積は $6\pi$ である。