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東京大学 1971年文系第1問解説

方針・初手

点 $(x, y)$ と原点 $(0, 0)$ との間の距離を $L$ とすると、求めるものは $L$ の最大値と最小値である。計算を容易にするため、距離の2乗である $L^2 = x^2 + y^2$ の最大値と最小値をまず考える。

$x$ の偏角 $t - \frac{\pi}{6}$ と $y$ の偏角 $t + \frac{\pi}{3}$ の差が $\frac{\pi}{2}$ であることに着目し、三角関数の性質を用いて変数を統一する、あるいは次数下げ（半角の公式）を行って整理するのが定石である。

解法1

点 $(x, y)$ と原点との距離を $L$ とすると、距離は正であるから $L^2$ が最大のとき $L$ も最大となり、$L^2$ が最小のとき $L$ も最小となる。

$$ L^2 = x^2 + y^2 = 4\cos^2\left(t - \frac{\pi}{6}\right) + \cos^2\left(t + \frac{\pi}{3}\right) $$

ここで、$y$ の偏角を変形すると、

$$ t + \frac{\pi}{3} = \left(t - \frac{\pi}{6}\right) + \frac{\pi}{2} $$

となる。$\cos\left(\theta + \frac{\pi}{2}\right) = -\sin\theta$ であるから、

$$ \cos\left(t + \frac{\pi}{3}\right) = \cos\left(t - \frac{\pi}{6} + \frac{\pi}{2}\right) = -\sin\left(t - \frac{\pi}{6}\right) $$

よって、$L^2$ は次のように表される。

$$ \begin{aligned} L^2 &= 4\cos^2\left(t - \frac{\pi}{6}\right) + \left\{-\sin\left(t - \frac{\pi}{6}\right)\right\}^2 \\ &= 4\cos^2\left(t - \frac{\pi}{6}\right) + \sin^2\left(t - \frac{\pi}{6}\right) \\ &= 4\cos^2\left(t - \frac{\pi}{6}\right) + \left\{1 - \cos^2\left(t - \frac{\pi}{6}\right)\right\} \\ &= 3\cos^2\left(t - \frac{\pi}{6}\right) + 1 \end{aligned} $$

変数 $t$ は $0 \leqq t \leqq \pi$ の範囲を動くため、偏角 $t - \frac{\pi}{6}$ のとり得る値の範囲は、

$$ -\frac{\pi}{6} \leqq t - \frac{\pi}{6} \leqq \frac{5\pi}{6} $$

この範囲において、$\cos\left(t - \frac{\pi}{6}\right)$ の値の範囲は

$$ -\frac{\sqrt{3}}{2} \leqq \cos\left(t - \frac{\pi}{6}\right) \leqq 1 $$

したがって、$\cos^2\left(t - \frac{\pi}{6}\right)$ のとり得る値の範囲は

$$ 0 \leqq \cos^2\left(t - \frac{\pi}{6}\right) \leqq 1 $$

これより、$L^2$ の最大値と最小値は以下のようになる。

(i)

$\cos^2\left(t - \frac{\pi}{6}\right) = 1$ のとき $L^2$ は最大値 $3 \cdot 1 + 1 = 4$ をとる。このとき、$\cos\left(t - \frac{\pi}{6}\right) = 1$（範囲より $-1$ にはならない）であるから、

$$ t - \frac{\pi}{6} = 0 $$

よって、$t = \frac{\pi}{6}$ のとき、距離 $L$ の最大値は $\sqrt{4} = 2$ である。

(ii)

$\cos^2\left(t - \frac{\pi}{6}\right) = 0$ のとき $L^2$ は最小値 $3 \cdot 0 + 1 = 1$ をとる。このとき、$\cos\left(t - \frac{\pi}{6}\right) = 0$ であるから、

$$ t - \frac{\pi}{6} = \frac{\pi}{2} $$

よって、$t = \frac{2\pi}{3}$ のとき、距離 $L$ の最小値は $\sqrt{1} = 1$ である。

解法2

半角の公式（次数下げ）を利用して、$L^2$ の式を変形する。

$$ L^2 = 4\cos^2\left(t - \frac{\pi}{6}\right) + \cos^2\left(t + \frac{\pi}{3}\right) $$

$$ \begin{aligned} L^2 &= 4 \cdot \frac{1 + \cos\left(2t - \frac{\pi}{3}\right)}{2} + \frac{1 + \cos\left(2t + \frac{2\pi}{3}\right)}{2} \\ &= 2\left\{1 + \cos\left(2t - \frac{\pi}{3}\right)\right\} + \frac{1}{2} + \frac{1}{2}\cos\left(2t + \frac{2\pi}{3}\right) \\ &= \frac{5}{2} + 2\cos\left(2t - \frac{\pi}{3}\right) + \frac{1}{2}\cos\left(2t - \frac{\pi}{3} + \pi\right) \end{aligned} $$

ここで、$\cos(\theta + \pi) = -\cos\theta$ であるから、

$$ \begin{aligned} L^2 &= \frac{5}{2} + 2\cos\left(2t - \frac{\pi}{3}\right) - \frac{1}{2}\cos\left(2t - \frac{\pi}{3}\right) \\ &= \frac{5}{2} + \frac{3}{2}\cos\left(2t - \frac{\pi}{3}\right) \end{aligned} $$

$0 \leqq t \leqq \pi$ のとき、偏角 $2t - \frac{\pi}{3}$ のとり得る値の範囲は

$$ -\frac{\pi}{3} \leqq 2t - \frac{\pi}{3} \leqq \frac{5\pi}{3} $$

この範囲において、$\cos\left(2t - \frac{\pi}{3}\right)$ の最大値は $1$、最小値は $-1$ である。

(i)

$\cos\left(2t - \frac{\pi}{3}\right) = 1$ のとき $2t - \frac{\pi}{3} = 0$ より $t = \frac{\pi}{6}$ である。このとき $L^2$ は最大値 $\frac{5}{2} + \frac{3}{2} \cdot 1 = 4$ をとる。よって、距離の最大値は $\sqrt{4} = 2$ である。

(ii)

$\cos\left(2t - \frac{\pi}{3}\right) = -1$ のとき $2t - \frac{\pi}{3} = \pi$ より $t = \frac{2\pi}{3}$ である。このとき $L^2$ は最小値 $\frac{5}{2} + \frac{3}{2} \cdot (-1) = 1$ をとる。よって、距離の最小値は $\sqrt{1} = 1$ である。

解説

三角関数の変形における基本的な発想を問う問題である。 2つの三角関数の角度部分を観察し、「差が $\frac{\pi}{2}$」であることに気づけば、解法1のように容易に文字を減らすことができる。もしそれに気づかなくても、三角関数の2乗を見たら半角の公式を用いて次数を下げるという基本原則に従えば、解法2のように自然と答えにたどり着くことができるようになっている。最大値・最小値を求める際は、定義域から角度の取り得る範囲を正確に把握して処理することが重要である。