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東京大学 1963年文系第5問解説

方針・初手

時刻 $t_0$ における位置の条件 $f(t_0) = 10, g(t_0) = 0$ を連立方程式として解き、未知の定数 $v$ や時刻 $t_0$ と $\alpha$ の間に成り立つ関係式を導く。その後、$x, y$ の導関数 $f'(t), g'(t)$ を計算し、求める式 $(f'(t_0))^2 + (g'(t_0))^2$ に代入して $\alpha$ のみの式へと変形していく。

解法1

与えられた座標の式は以下の通りである。

$$ x = f(t) = vt \cos \alpha $$

$$ y = g(t) = vt \sin \alpha - 5t^2 $$

時刻 $t_0$ において $x = 10, y = 0$ となるので、次の2式が成り立つ。

$$ vt_0 \cos \alpha = 10 $$

$$ vt_0 \sin \alpha - 5t_0^2 = 0 $$

条件より $v > 0$ であり、$0 < \alpha < \frac{\pi}{2}$ であるから $\cos \alpha > 0$ である。したがって、第1式より $t_0 \neq 0$ であることがわかる。

第2式の両辺を $t_0$ で割ると、次のように変形できる。

$$ v \sin \alpha - 5t_0 = 0 $$

$$ t_0 = \frac{v \sin \alpha}{5} $$

これを第1式に代入する。

$$ v \left( \frac{v \sin \alpha}{5} \right) \cos \alpha = 10 $$

$$ v^2 \sin \alpha \cos \alpha = 50 $$

倍角の公式 $\sin 2\alpha = 2 \sin \alpha \cos \alpha$ を用いて整理する。

$$ v^2 = \frac{50}{\sin \alpha \cos \alpha} = \frac{100}{\sin 2\alpha} $$

次に、$x, y$ の時刻 $t$ による変化率（導関数）を求める。

$$ f'(t) = v \cos \alpha $$

$$ g'(t) = v \sin \alpha - 10t $$

これらに $t = t_0 = \frac{v \sin \alpha}{5}$ を代入する。

$$ f'(t_0) = v \cos \alpha $$

$$ g'(t_0) = v \sin \alpha - 10 \left( \frac{v \sin \alpha}{5} \right) = v \sin \alpha - 2v \sin \alpha = -v \sin \alpha $$

したがって、求める変化率の2乗の和は次のようになる。

$$ (f'(t_0))^2 + (g'(t_0))^2 = (v \cos \alpha)^2 + (-v \sin \alpha)^2 $$

$$ (f'(t_0))^2 + (g'(t_0))^2 = v^2 \cos^2 \alpha + v^2 \sin^2 \alpha = v^2 (\cos^2 \alpha + \sin^2 \alpha) = v^2 $$

先ほど求めた $v^2$ の式を代入して、$\alpha$ の式で表す。

$$ (f'(t_0))^2 + (g'(t_0))^2 = \frac{100}{\sin 2\alpha} $$

続いて、この式の値を最も小さくする $\alpha$ の値を求める。

条件 $0 < \alpha < \frac{\pi}{2}$ より、 $0 < 2\alpha < \pi$ である。

この範囲において、分母の $\sin 2\alpha$ は $0 < \sin 2\alpha \leqq 1$ の範囲の値をとる。

分数の値が最も小さくなるのは、分母 $\sin 2\alpha$ が最大値 $1$ をとるときである。

$$ \sin 2\alpha = 1 $$

このとき、$2\alpha = \frac{\pi}{2}$ すなわち $\alpha = \frac{\pi}{4}$ である。

解説

与えられた式は、初速度 $v$、仰角 $\alpha$ で原点から発射された物体の斜方投射の運動方程式（重力加速度を $g=10$ としたもの）そのものである。

時刻 $t_0$ で $y=0$ となることは、物体が再び地上に落下したことを意味し、$x=10$ はそのときの水平到達距離が $10$ であることを示している。

また、$(f'(t_0))^2 + (g'(t_0))^2$ は時刻 $t_0$ における速度ベクトルの大きさの2乗、すなわち「速さの2乗」である。空気抵抗のない放物運動においては力学的エネルギーが保存されるため、同じ高さ（$y=0$）における速さは初速の大きさと等しくなる。計算結果が $v^2$ になったことは、この物理的法則と完全に合致している。

水平到達距離を最大にする投射角が $45^\circ$ （$\frac{\pi}{4}$）であることは物理の有名事実であり、本問では逆に「一定の距離に到達させるために必要な初速（の2乗）を最小にする角度」を求めていることになるが、結果は同じく $\frac{\pi}{4}$ となる。