東京大学 1993年 理系 第6問 解説

方針・初手

（1） は、速度ベクトル $\left(\frac{dx}{dt}, \frac{dy}{dt}\right)$ の成分を計算し、その大きさ $v$ の2乗を $t$ の関数として表す。三角関数の相互関係や倍角の公式を用いて $\cos t$ のみの多項式に帰着させ、最大値と最小値を求める。

（2） は、異なる2つの時刻 $t_1, t_2$ （$0 \leqq t_1 < t_2 < 2\pi$）において点 $P$ の座標が一致する条件式を立てる。$y(t_1) = y(t_2)$ から $t_1$ と $t_2$ の関係式を絞り込み、それを $x(t_1) = x(t_2)$ に代入して解を求める。

解法1

(1)

与えられた座標の式を $t$ で微分すると、速度ベクトルの各成分は以下のようになる。

$$ \begin{aligned} \frac{dx}{dt} &= -2\sin t - 2\sin 2t \\ \frac{dy}{dt} &= 2\cos 2t \end{aligned} $$

点 $P$ の速さを $v$ とすると、$v \geqq 0$ であり、$v^2$ は次のように計算できる。

$$ \begin{aligned} v^2 &= \left(\frac{dx}{dt}\right)^2 + \left(\frac{dy}{dt}\right)^2 \\ &= (-2\sin t - 2\sin 2t)^2 + (2\cos 2t)^2 \\ &= 4\sin^2 t + 8\sin t \sin 2t + 4\sin^2 2t + 4\cos^2 2t \\ &= 4\sin^2 t + 16\sin^2 t \cos t + 4(\sin^2 2t + \cos^2 2t) \\ &= 4\sin^2 t + 16\sin^2 t \cos t + 4 \end{aligned} $$

$\sin^2 t = 1 - \cos^2 t$ を代入して整理する。

$$ \begin{aligned} v^2 &= 4(1 - \cos^2 t) + 16(1 - \cos^2 t)\cos t + 4 \\ &= -16\cos^3 t - 4\cos^2 t + 16\cos t + 8 \end{aligned} $$

ここで、$\cos t = u$ とおく。$0 \leqq t < 2\pi$ のとき、$-1 \leqq u \leqq 1$ である。$v^2$ を $u$ の関数 $f(u)$ とおく。

$$ f(u) = -16u^3 - 4u^2 + 16u + 8 $$

$f(u)$ を微分して増減を調べる。

$$ \begin{aligned} f'(u) &= -48u^2 - 8u + 16 \\ &= -8(6u^2 + u - 2) \\ &= -8(2u - 1)(3u + 2) \end{aligned} $$

$f'(u) = 0$ となるのは、$u = \frac{1}{2}, -\frac{2}{3}$ のときである。区間 $-1 \leqq u \leqq 1$ における $f(u)$ の値を調べる。

$$ \begin{aligned} f(-1) &= -16(-1) - 4(1) + 16(-1) + 8 = 4 \\ f\left(-\frac{2}{3}\right) &= -16\left(-\frac{8}{27}\right) - 4\left(\frac{4}{9}\right) + 16\left(-\frac{2}{3}\right) + 8 = \frac{8}{27} \\ f\left(\frac{1}{2}\right) &= -16\left(\frac{1}{8}\right) - 4\left(\frac{1}{4}\right) + 16\left(\frac{1}{2}\right) + 8 = 13 \\ f(1) &= -16(1) - 4(1) + 16(1) + 8 = 4 \end{aligned} $$

したがって、$f(u)$ は $u = \frac{1}{2}$ のとき最大値 $13$、$u = -\frac{2}{3}$ のとき最小値 $\frac{8}{27}$ をとる。$v \geqq 0$ であるから、$v$ は $f(u)$ が最大のとき最大、最小のとき最小となる。

(2)

点 $P$ が2回以上通過する点が存在するための条件は、異なる2つの時刻 $t_1, t_2$ （$0 \leqq t_1 < t_2 < 2\pi$）において、$x(t_1) = x(t_2)$ かつ $y(t_1) = y(t_2)$ が成り立つことである。

まず $y(t_1) = y(t_2)$ より、

$$ \sin 2t_1 = \sin 2t_2 $$

これより、$k$ を整数として、以下のいずれかが成り立つ。

$$ \begin{cases} 2t_2 = 2t_1 + 2k\pi \\ 2t_2 = \pi - 2t_1 + 2k\pi \end{cases} $$

$0 \leqq t_1 < t_2 < 2\pi$ であることから、$0 < t_2 - t_1 < 2\pi$ および $0 < t_1 + t_2 < 4\pi$ となり、条件を満たすのは以下の2つの場合である。

(i)

$t_2 - t_1 = \pi$ の場合 $t_2 = t_1 + \pi$ を $x(t_1) = x(t_2)$ に代入する。

$$ \begin{aligned} 2\cos t_1 + \cos 2t_1 &= 2\cos(t_1 + \pi) + \cos(2t_1 + 2\pi) \\ 2\cos t_1 + \cos 2t_1 &= -2\cos t_1 + \cos 2t_1 \\ 4\cos t_1 &= 0 \\ \cos t_1 &= 0 \end{aligned} $$

$0 \leqq t_1 < 2\pi$ より、$t_1 = \frac{\pi}{2}, \frac{3\pi}{2}$ である。 $t_1 = \frac{\pi}{2}$ のとき、$t_2 = \frac{3\pi}{2}$ となり条件 $t_2 < 2\pi$ を満たす。 $t_1 = \frac{3\pi}{2}$ のとき、$t_2 = \frac{5\pi}{2}$ となり不適である。 よって、$(t_1, t_2) = \left(\frac{\pi}{2}, \frac{3\pi}{2}\right)$ の組が得られる。

(ii)

$t_1 + t_2 = \frac{\pi}{2} + k\pi \ (k=0, 1, 2, 3)$ の場合 $t_2 = \frac{\pi}{2} + k\pi - t_1$ を $x(t_1) = x(t_2)$ に代入する。

$$ \begin{aligned} 2\cos t_1 + \cos 2t_1 &= 2\cos\left(\frac{\pi}{2} + k\pi - t_1\right) + \cos(\pi + 2k\pi - 2t_1) \\ 2\cos t_1 + \cos 2t_1 &= 2\cos\left(\frac{\pi}{2} + k\pi - t_1\right) - \cos 2t_1 \\ \cos 2t_1 &= \cos\left(\frac{\pi}{2} + k\pi - t_1\right) - \cos t_1 \end{aligned} $$

$k=0$ のとき（$t_1 + t_2 = \frac{\pi}{2}$）、$\cos\left(\frac{\pi}{2} - t_1\right) = \sin t_1$ より、

$$ \begin{aligned} \cos^2 t_1 - \sin^2 t_1 &= \sin t_1 - \cos t_1 \\ (\cos t_1 - \sin t_1)(\cos t_1 + \sin t_1 + 1) &= 0 \end{aligned} $$

$t_1 < t_2$ より $0 \leqq t_1 < \frac{\pi}{4}$ であり、この範囲で等式を満たす $t_1$ は存在しない。

$k=1$ のとき（$t_1 + t_2 = \frac{3\pi}{2}$）、$\cos\left(\frac{3\pi}{2} - t_1\right) = -\sin t_1$ より、

$$ \begin{aligned} \cos^2 t_1 - \sin^2 t_1 &= -\sin t_1 - \cos t_1 \\ (\cos t_1 + \sin t_1)(\cos t_1 - \sin t_1 + 1) &= 0 \end{aligned} $$

$0 \leqq t_1 < \frac{3\pi}{4}$ であり、$\cos t_1 + \sin t_1 = 0$ は範囲内に解を持たない。$\cos t_1 - \sin t_1 + 1 = 0$ すなわち $\sin t_1 - \cos t_1 = 1$ を解くと、$t_1 = \frac{\pi}{2}$ となり、$t_2 = \pi$ が得られる。

$k=2, 3$ の場合も同様に調べると、条件を満たす組として $(t_1, t_2) = \left(\pi, \frac{3\pi}{2}\right)$ が得られる。

以上から、条件を満たす時刻の組は $\left(\frac{\pi}{2}, \pi\right)$、$\left(\pi, \frac{3\pi}{2}\right)$、$\left(\frac{\pi}{2}, \frac{3\pi}{2}\right)$ の3組である。これらはいずれも $t = \frac{\pi}{2}, \pi, \frac{3\pi}{2}$ の3つの時刻の組み合わせに他ならない。

これらの時刻を $x, y$ の式に代入すると、すべて $(x, y) = (-1, 0)$ となる。

したがって、2回以上通過する点は $(-1, 0)$ の唯一つであることが示された。

その点を通過する各時刻での速度ベクトル $\vec{v} = \left(\frac{dx}{dt}, \frac{dy}{dt}\right) = (-2\sin t - 2\sin 2t, 2\cos 2t)$ を求める。

$t = \frac{\pi}{2}$ のとき、

$$ \vec{v}_1 = \left(-2\sin\frac{\pi}{2} - 2\sin\pi, 2\cos\pi\right) = (-2, -2) $$

$t = \pi$ のとき、

$$ \vec{v}_2 = (-2\sin\pi - 2\sin 2\pi, 2\cos 2\pi) = (0, 2) $$

$t = \frac{3\pi}{2}$ のとき、

$$ \vec{v}_3 = \left(-2\sin\frac{3\pi}{2} - 2\sin 3\pi, 2\cos 3\pi\right) = (2, -2) $$

これらのベクトルを図示するには、$xy$ 平面上の点 $(-1, 0)$ を始点として、終点がそれぞれ $(-3, -2)$、$(-1, 2)$、$(1, -2)$ となるような3つの有向線分を描く。

解説

媒介変数表示された曲線の速度ベクトルと軌跡に関する問題である。(1)では、速さの2乗を計算する際に、三角関数の性質を用いて変数を統一することが定石である。今回は $\cos t$ に統一することで3次関数の最大・最小問題に帰着できる。

(2)では、自己交差点を求めるため、$t_1 \neq t_2$ で座標が一致する条件を立式する。$y$ 座標の条件 $\sin 2t_1 = \sin 2t_2$ から $t_1, t_2$ の関係を絞り込むと見通しが良い。交点が唯一であることを示すためには、得られた複数の時刻がすべて同じ1点を与えることを確認する必要がある。図示する際は、位置ベクトルではなく、交点を始点とした速度ベクトルを描くことに注意する。

答え

(1)

最大値: $\sqrt{13}$ 最小値: $\frac{2\sqrt{6}}{9}$

(2)

$2$ 回以上通過する点は $(-1, 0)$ の唯一つである。 各時刻での速度ベクトルは以下の通り。 $t = \frac{\pi}{2}$ のとき $(-2, -2)$ $t = \pi$ のとき $(0, 2)$ $t = \frac{3\pi}{2}$ のとき $(2, -2)$ （図示については、点 $(-1, 0)$ を始点として上記の各ベクトルを描く）