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東京大学 1972年文系第3問解説

方針・初手

複素数 $z$ を $z = x + yi$ （$x, y$ は実数）とおき、与えられた条件から $x, y$ の動く範囲を不等式で表す。次に、変換後の複素数 $w$ を $w = u + vi$ （$u, v$ は実数）とおき、$w = z^2$ の関係から $u, v$ を $x, y$ を用いて表す。

求めるのは点 $w$ が動く範囲の面積なので、$u-v$ 平面における領域を図示し、積分によって面積を計算するのが基本方針となる。領域を正確に捉えるために、正方形の境界がどのように写像されるかを調べ、必要に応じて $v$ を固定して $u$ の動く範囲（断面）を求める。

解法1

$z = x + yi$ （$x, y$ は実数）とおく。点 $z$ は四点 $1+i, 2+i, 2+2i, 1+2i$ を頂点とする正方形の内部（および周）を動くと考えてよいので、$x, y$ の満たす条件は以下のようになる。

$$ 1 \leqq x \leqq 2 \quad \text{かつ} \quad 1 \leqq y \leqq 2 $$

また、$w = u + vi$ （$u, v$ は実数）とおくと、$w = z^2$ より、

$$ u + vi = (x + yi)^2 = x^2 - y^2 + 2xyi $$

実部と虚部を比較して、以下の関係式を得る。

$$ \begin{cases} u = x^2 - y^2 \\ v = 2xy \end{cases} $$

ここから、$x, y$ が上記の正方形領域を動くときの $(u, v)$ のとりうる範囲を考える。 $x > 0, y > 0$ であるから、$v = 2xy > 0$ である。第2式から $x = \frac{v}{2y}$ となり、これを第1式に代入すると、

$$ u = \frac{v^2}{4y^2} - y^2 $$

ここで、$v$ を固定して $y$ を動かしたときの $u$ の範囲を調べる。 $y > 0$ の範囲において、$y$ が増加すると $\frac{v^2}{4y^2}$ は減少し、$-y^2$ も減少するため、$u$ は $y$ について単調減少する関数である。したがって、$y$ のとりうる範囲が分かれば、$u$ のとりうる範囲も定まる。

次に、$y$ のとりうる範囲を求める。$x = \frac{v}{2y}$ を $1 \leqq x \leqq 2$ に代入すると、

$$ 1 \leqq \frac{v}{2y} \leqq 2 $$

辺々が正であることを考慮して変形すると、

$$ \frac{v}{4} \leqq y \leqq \frac{v}{2} $$

元々の条件 $1 \leqq y \leqq 2$ と合わせて、$y$ はこれら2つの不等式を同時に満たす範囲を動く。ここで、$v$ のとりうる最大の範囲は、点 $(x, y)$ が領域内の点であることから、$v = 2xy$ より $2 \cdot 1 \cdot 1 \leqq v \leqq 2 \cdot 2 \cdot 2$ すなわち $2 \leqq v \leqq 8$ である。 $v$ の値によって $y$ の範囲が変わるため、場合分けを行う。

(i)

$2 \leqq v \leqq 4$ のとき

このとき $\frac{v}{4} \leqq 1$ および $1 \leqq \frac{v}{2} \leqq 2$ が成り立つため、$y$ の動く範囲は

$$ 1 \leqq y \leqq \frac{v}{2} $$

となる。$u$ は $y$ について単調減少であるから、$u$ の範囲は $y = \frac{v}{2}$ のとき最小、$y = 1$ のとき最大となる。

$$ \left( \frac{v}{2 \cdot \frac{v}{2}} \right)^2 - \left( \frac{v}{2} \right)^2 \leqq u \leqq \frac{v^2}{4 \cdot 1^2} - 1^2 $$

整理して、

$$ 1 - \frac{v^2}{4} \leqq u \leqq \frac{v^2}{4} - 1 $$

(ii)

$4 \leqq v \leqq 8$ のとき

このとき $1 \leqq \frac{v}{4} \leqq 2$ および $2 \leqq \frac{v}{2}$ が成り立つため、$y$ の動く範囲は

$$ \frac{v}{4} \leqq y \leqq 2 $$

となる。同様に $u$ の範囲は $y = 2$ のとき最小、$y = \frac{v}{4}$ のとき最大となる。

$$ \frac{v^2}{4 \cdot 2^2} - 2^2 \leqq u \leqq \left( \frac{v}{2 \cdot \frac{v}{4}} \right)^2 - \left( \frac{v}{4} \right)^2 $$

整理して、

$$ \frac{v^2}{16} - 4 \leqq u \leqq 4 - \frac{v^2}{16} $$

以上より、点 $w$ の動く範囲の面積を $S$ とすると、$S$ は $v$ 軸方向で積分することで求められる。

$$ S = \int_{2}^{4} \left\{ \left(\frac{v^2}{4} - 1\right) - \left(1 - \frac{v^2}{4}\right) \right\} dv + \int_{4}^{8} \left\{ \left(4 - \frac{v^2}{16}\right) - \left(\frac{v^2}{16} - 4\right) \right\} dv $$

それぞれの積分を計算する。

$$ \begin{aligned} \int_{2}^{4} 2\left(\frac{v^2}{4} - 1\right) dv &= \int_{2}^{4} \left(\frac{v^2}{2} - 2\right) dv \\ &= \left[ \frac{v^3}{6} - 2v \right]_{2}^{4} \\ &= \left(\frac{64}{6} - 8\right) - \left(\frac{8}{6} - 4\right) \\ &= \frac{56}{6} - 4 \\ &= \frac{16}{3} \end{aligned} $$

$$ \begin{aligned} \int_{4}^{8} 2\left(4 - \frac{v^2}{16}\right) dv &= \int_{4}^{8} \left(8 - \frac{v^2}{8}\right) dv \\ &= \left[ 8v - \frac{v^3}{24} \right]_{4}^{8} \\ &= \left(64 - \frac{512}{24}\right) - \left(32 - \frac{64}{24}\right) \\ &= 32 - \frac{448}{24} \\ &= 32 - \frac{56}{3} \\ &= \frac{40}{3} \end{aligned} $$

したがって、求める面積 $S$ は、

$$ S = \frac{16}{3} + \frac{40}{3} = \frac{56}{3} $$

解法2

大学数学の範囲（重積分と変数変換）を用いると、軌跡を正確に求めずとも面積を計算できる。求める面積 $S$ は、$w = u + vi$ とおいたときの $(u, v)$ 平面上の領域を $D'$ とすると、以下の重積分で表される。

$$ S = \iint_{D'} 1 \, du \, dv $$

ここで、$u = x^2 - y^2$, $v = 2xy$ という変数変換を行う。元の $(x, y)$ 平面における正方形領域を $D = \{ (x,y) \mid 1 \leqq x \leqq 2, 1 \leqq y \leqq 2 \}$ とする。ヤコビアン $J$ を計算する。

$$ J = \frac{\partial(u,v)}{\partial(x,y)} = \det \begin{pmatrix} \frac{\partial u}{\partial x} & \frac{\partial u}{\partial y} \\ \frac{\partial v}{\partial x} & \frac{\partial v}{\partial y} \end{pmatrix} = \det \begin{pmatrix} 2x & -2y \\ 2y & 2x \end{pmatrix} = 4x^2 + 4y^2 $$

$x, y$ が実数のとき $J > 0$ であり、$dx dy$ への変換は $du dv = J \, dx dy$ となる。したがって、面積 $S$ は $(x, y)$ の重積分として次のように計算できる。

$$ S = \iint_{D} (4x^2 + 4y^2) \, dx \, dy = \int_{1}^{2} \left( \int_{1}^{2} (4x^2 + 4y^2) \, dy \right) dx $$

まず、内側の $y$ についての積分を計算する。

$$ \begin{aligned} \int_{1}^{2} (4x^2 + 4y^2) \, dy &= \left[ 4x^2y + \frac{4}{3}y^3 \right]_{1}^{2} \\ &= \left( 8x^2 + \frac{32}{3} \right) - \left( 4x^2 + \frac{4}{3} \right) \\ &= 4x^2 + \frac{28}{3} \end{aligned} $$

次に、外側の $x$ についての積分を計算する。

$$ \begin{aligned} \int_{1}^{2} \left( 4x^2 + \frac{28}{3} \right) dx &= \left[ \frac{4}{3}x^3 + \frac{28}{3}x \right]_{1}^{2} \\ &= \left( \frac{32}{3} + \frac{56}{3} \right) - \left( \frac{4}{3} + \frac{28}{3} \right) \\ &= \frac{88}{3} - \frac{32}{3} \\ &= \frac{56}{3} \end{aligned} $$

よって、求める面積は $\frac{56}{3}$ となる。

解説

複素数平面における写像（変換）によって形成される領域の面積を求める、典型的な図形と方程式の融合問題である。

解法1では、$v$ を固定して $u$ の範囲を調べる「定数分離・断面の考察」の手法を用いている。正方形の境界線のみの像を求めて囲まれた面積を出す方法もあるが、$1 \leqq x \leqq 2, 1 \leqq y \leqq 2$ の条件を不等式として扱い、$y$ の動く範囲を正確に絞り込むアプローチの方が論理の飛躍がなく安全である。$v$ の範囲によって $y$ の制限される上限・下限が切り替わるため、場合分けに気づけるかがポイントになる。

解法2は高校数学の範囲外だが、面積分の変数変換（ヤコビアン）を利用している。$w = z^2$ のような正則な複素関数の写像における面積拡大率は $|f'(z)|^2$ に等しくなるという性質（この場合 $|2z|^2 = 4(x^2+y^2)$）を背景に持っている。見直しや検算ツールとして非常に強力である。