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東京大学 1976年文系第1問解説

方針・初手

回転体の体積 $V$ を $r$ と $l$ の式で表す。曲線の対称性を利用することで積分計算を簡略化できる。条件 $r^2 + l = c$ より $l$ を消去し、$V$ を $r$ の 1 変数関数として帰着させる。その際、$r \geqq 0$ および $l \geqq 0$ から生じる $r$ の定義域に注意し、定数 $c$ の値によって場合分けを行って最大値を求める。

解法1

与えられた曲線 $y$ は以下の 3 つの部分からなる。

$$ y = \begin{cases} x^2 & (0 \leqq x \leqq r) \\ r^2 & (r \leqq x \leqq l+r) \\ (x-l-2r)^2 & (l+r \leqq x \leqq l+2r) \end{cases} $$

これを $x$ 軸のまわりに回転してできる回転体の体積 $V$ は、3 つの区間に分けて積分することで求められる。

第 1 の区間 $0 \leqq x \leqq r$ における体積 $V_1$ は、

$$ V_1 = \pi \int_0^r (x^2)^2 \, dx = \pi \left[ \frac{1}{5} x^5 \right]_0^r = \frac{\pi}{5} r^5 $$

第 3 の区間 $l+r \leqq x \leqq l+2r$ における体積 $V_3$ は、$t = x - l - 2r$ と置換すると $dx = dt$ であり、積分区間は $-r \leqq t \leqq 0$ となるため、

$$ V_3 = \pi \int_{l+r}^{l+2r} \left\{ (x-l-2r)^2 \right\}^2 \, dx = \pi \int_{-r}^0 t^4 \, dt = \pi \left[ \frac{1}{5} t^5 \right]_{-r}^0 = \frac{\pi}{5} r^5 $$

第 2 の区間 $r \leqq x \leqq l+r$ における体積 $V_2$ は、半径 $r^2$、高さ $l$ の円柱の体積であるから、

$$ V_2 = \pi \int_r^{l+r} (r^2)^2 \, dx = \pi r^4 l $$

したがって、回転体全体の体積 $V$ はこれらの和となる。

$$ V = V_1 + V_2 + V_3 = \frac{2\pi}{5} r^5 + \pi r^4 l $$

ここで、条件より $r^2 + l = c$ ($c$ は正の定数) であるから、$l = c - r^2$ と表せる。また、$r \geqq 0$ かつ $l \geqq 0$ であるため、$c - r^2 \geqq 0$ より $r^2 \leqq c$ となる。したがって、$r$ のとりうる値の範囲（定義域）は $0 \leqq r \leqq \sqrt{c}$ である。

$l = c - r^2$ を $V$ の式に代入し、$V$ を $r$ の関数 $f(r)$ として表す。

$$ f(r) = \frac{2\pi}{5} r^5 + \pi r^4 (c - r^2) = \pi \left( -r^6 + \frac{2}{5} r^5 + c r^4 \right) $$

この関数 $f(r)$ の $0 \leqq r \leqq \sqrt{c}$ における最大値を求めるため、導関数 $f'(r)$ を計算する。

$$ f'(r) = \pi \left( -6r^5 + 2r^4 + 4cr^3 \right) = -2\pi r^3 (3r^2 - r - 2c) $$

$f'(r) = 0$ となる $r > 0$ を求めるために、方程式 $3r^2 - r - 2c = 0$ を解く。解の公式より、

$$ r = \frac{1 \pm \sqrt{1 - 4 \cdot 3 \cdot (-2c)}}{2 \cdot 3} = \frac{1 \pm \sqrt{1 + 24c}}{6} $$

$c > 0$ より $\sqrt{1+24c} > 1$ であるため、正の解は

$$ r = \frac{1 + \sqrt{1 + 24c}}{6} $$

のみである。この正の解を $\alpha$ とおく。

ここで、定義域の上端 $\sqrt{c}$ と $\alpha$ の大小関係を調べるため、$g(r) = 3r^2 - r - 2c$ とおき、$r = \sqrt{c}$ のときの符号を判定する。

$$ g(\sqrt{c}) = 3c - \sqrt{c} - 2c = c - \sqrt{c} = \sqrt{c} (\sqrt{c} - 1) $$

この符号は $c$ と $1$ の大小によって変わるため、場合分けを行う。

(i) $c > 1$ のとき

$g(\sqrt{c}) > 0$ となる。 $g(0) = -2c < 0$ であり、$g(r)$ は下に凸の放物線であるため、$g(r) = 0$ の正の解 $\alpha$ は $0 < \alpha < \sqrt{c}$ を満たす。 $0 < r < \alpha$ において $g(r) < 0$ すなわち $f'(r) > 0$、 $\alpha < r < \sqrt{c}$ において $g(r) > 0$ すなわち $f'(r) < 0$ となる。したがって、$f(r)$ は $r = \alpha$ で極大かつ最大となる。

このとき、$r = \frac{1 + \sqrt{1 + 24c}}{6}$ であり、対応する $l$ の値は、

$$ \begin{aligned} l &= c - r^2 \\ &= c - \left( \frac{1 + \sqrt{1 + 24c}}{6} \right)^2 \\ &= c - \frac{1 + 1 + 24c + 2\sqrt{1 + 24c}}{36} \\ &= c - \frac{1 + 12c + \sqrt{1 + 24c}}{18} \\ &= \frac{18c - (1 + 12c + \sqrt{1 + 24c})}{18} \\ &= \frac{6c - 1 - \sqrt{1 + 24c}}{18} \end{aligned} $$

(ii) $0 < c \leqq 1$ のとき

$g(\sqrt{c}) \leqq 0$ となる。これにより、定義域 $0 \leqq r \leqq \sqrt{c}$ において常に $g(r) \leqq 0$ となり、$r=0$ を除いて $f'(r) > 0$ となる。（$r=\sqrt{c}$ で $f'(r)=0$ となるのは $c=1$ のときのみ）したがって、$f(r)$ は $0 \leqq r \leqq \sqrt{c}$ において単調に増加し、$r = \sqrt{c}$ のときに最大となる。

このとき、$l = c - (\sqrt{c})^2 = 0$ である。

解説

回転体の体積を求める典型的な微積分問題である。曲線の形が直線 $x = \frac{l}{2} + r$ に関して対称であることに気付けば、積分計算を大きく省くことができる。また、条件式 $r^2 + l = c$ を用いて 1 変数の最大化問題に帰着させる際、「消去される文字の条件」すなわち $l \geqq 0$ を忘れずに定義域 $r \leqq \sqrt{c}$ を設定することが最も重要である。増減表を書くために微分したのち、極値をとる $r$ と定義域の端点 $\sqrt{c}$ との大小関係が定数 $c$ の値によって変化するため、そこで場合分けを要求される構成となっており、論理の丁寧さが問われる。